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1、第6.16.2节 数理统计学中的基本概念,数理统计的任务: 观察现象,收集资料,创 建方法,分析推断。,统计推断: 伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。,总体:研究对象的全体(整体)。,个体:每一个研究对象。实际上是对总体的一次观察。,有限总体 无限总体,第六章 随机样本及抽样分布,样本: 由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自 )某总体的样本。,样本具有二重性: 在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。,样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样,特别,样本容量总体数量时, 无放回抽样可近似看作有放回抽样.,简单随机样本(s.r.s):
2、 具有两个特点的样本: 代表性(组成样本的每个个体与总体同分布), 独立性 (组成样本的个体间相互独立)。,样本容量: 样本中所含个体的个数。,如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则,总体:这批灯泡(有限总体) 个体:这批灯泡中的每一只 样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本) 样本容量:100 样本观测值: x1,x2,x100,定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x)的简单随机样本;n为样本容量, 在一次观测中, 样本的具体观测值x1,x2,xn称为样本值,X X1
3、,X2,X100 100 样本值,注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量.,总体,选择个体,样本,观测样本,样本观察值,(数据),数据处理,样本有关结论,统计的一般步骤:,推断总体性质,统计量,为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。,统计量,定义: 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本, g(X1,X2,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,统计量的分布称为抽样分布., 样本均值,常用统计量:, 样本方差, 样本标准差, 样本k阶原点矩,
4、 样本k阶中心矩,顺序统计量,设X1,X2,Xn的观察值为x1,x2,xn,从小到大排序得到: x(1),x(2),x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),X(n) 或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1) X(2) X(n) 且有X(1)=min (X(1),X(2),X(n), X(n)=max(X(1),X(2),X(n),1) 样本中位数,2) 样本极差,R= X(n)- X(1),3) 样本分布函数(经验分布函数),格里汶科定理:,设总体X的分布是F(x),则下式成立,样本分布函数(经验分布函数),12,6.3 抽样分布,一、 正态分布,分布及其性质,1.
5、定义: 称 n 个相互独立同标准正态分布的随机变量的 平方和X的分布为自由度为 n 的 分布, 记作,二、,(2) Y1, Y2,Yk独立, Yi (ni), (i=1,2,k), 则,2.性质:,(1) X 1,X2,Xn独立, Xi N(0,1), i=1,2, n, 则,(3) X1,X2,Xn为来自总体N(, 2)的简单随机样本,则,(4),3. 的密度曲线,n=1,n=4,n=10,随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.,三、t 分布及其性质,1.定义 设随机变量 , 随机变量 Y , 且它们互相独立,则称随机变量 的分布为自由度是 n 的t 分布,记作:,特点: 关于y轴对称;
6、随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.,2. t 分布的密度曲线:,3、t分布的性质,（1）,（2）,（3） h(t)的图形关于Y轴对称,四、F 分布及其性质,1.定义,设随机变量 随机变量 且 它们相互独立,则称随机变量 的分布为自 由度是 的 F 分布。记作,2. F分布的概率密度曲线,3.性质:,五、抽样分布基本定理,1、设 是来自总体 的 s.r.s, 表示样本均值，则,注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均近似有,2、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立,从中 分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别记为,3、定理6.3.3,设X1,X2
7、,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,注：由,可得,4、定理6.3.4,设X1, X2, , Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有 (由定理6.3.3),5、定理6.3.5,设,与,分别是来自总体X,Y的样本,且这两个样本是独立的,记,则有：,注:,若,记,则有：,6、顺序统计量的分布,(1)（X(1), X(2),X(n)）的概率密度函数为,(2) 样本中位数的概率密度函数为,(3) 样本极差的概率密度函数为,其中,28,六、 分布的 分位数,则称 为该分布的下 分位点. 如: 正态分布 、 t 分布、 2分布、 F 分布、.等的 分位数. 请注意：
8、,设 X 为一个随机变量, 其分布函数为F(x), 对任意的0 1, 若 满足条件,z,1-,例6.3.1 设XN(0,1), 分别为0.95, 求X的 分位数.,1、标准正态分布的 分位数,定义:设 XN(0,1), 对任意01, 若 PX= , 则称为标准正态分布的 分位数, 记为,解: =0.95时,反查表得:,z0.95=1.64,-z,2. 分布的 分位数,定义:设 ,对于给定的(0 1),若PX= ,则称为自由度为n的 分布 分位数, 记为,查表求 分位数:,(1)若PX= , 则,(2)若PX= , 则,例6.3.4.设X (10),PX1=0.025, PX2=0.05,求1, 2.,解:,查表得:,查表得:,3. t分布的分位数:,对于给定 (0 1), 若Pt(n) = ,则称为t分布的分位数, 记为:,1-,4. F 分布的分位数,设 F , 对于给定 (01), 若PF=, 则称为F分布的 100%分位数, 记为:,分位数的计算,(1)若PF=,则,(2)若PF=(较小时), 则由,P1/F1/=1-,故,作业,P175: T2, T4，T6,t,9,解:,故,与 独立,所以,4、定理6.3.4,设X1，X2,Xn是来自总体,的样本，,分别是样本均值和样本方差，则有,例6.3.8(993) 设 是来自正态总体 X 的s.r.s,证明:统计量 Zt (2),
