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1、第7讲 第4章 债券价格波动性的衡量(3),4.1 债券价格的利率敏感性 4.2 债券的久期 4.3 债券的凸度,4.4.2 投资组合的久期的计算,理论计算 例4.6 假设现在为1997年6月30日有3种债券，均为半年付息一次，小程按1：1：1的比例持有这三种债券，求此投资组合的久期。,实务计算,投资组合的久期 投资组合的修正久期 投资组合的美元久期 Portfolios responsiveness to parallel changes in interest rates,4.4.3 浮动利率债券的久期,思考题： 为什么债券投资组合的久期与修正久期是以市值的比重，而美元久期却以持有张数为比
2、重来计算？,2.假设浮动利率债券没有到期日,1.如果浮动利率债券到期日为T时刻，其久期如何计算？,4.4.4 补充说明 修正的久期和有效久期(effective duration) 久期 债券价值关于利率敏感性的一般描述 修正的久期 假设当收益率改变时，债券的期望现金流不变，债券在收益率发生100个基点变化时的价格近似百分比变化 在收益率改变时，债券价格的变化仅仅因为贴现率(新的收益率水平)的变化引起 仅对没有嵌入期权的债券(option-free bonds)有意义 当债券有嵌入的期权(bonds with embedded options)时，收益率的变化，将可能导致债券期望现金流的变化
3、于是，在应用久期公式计算久期时，必须考虑债券期望现金流与收益率之间的相互影响,有效久期(期权调整的久期) 计算债券价值是考虑收益率的改变可能引起债券期望现金流变化 债券价格计算是同时考虑贴现率和期望现金流的可能变化 对于有嵌入期权的债券，有效久期与修正的久期通常不相等 有效久期可以大于修正的久期；有效久期也可以小于修正的久期 比较(例) 没有嵌入期权的债券：有效久期等于修正的久期 可赎回债券：修正的久期为5，有效久期为3； 担保抵押债务(CMO):修正的久期为7 ,有效久期为20,债券久期的近似计算,例 一债券收益率为11时，价格为96.2312；收益率增加10个基本点时，价格为95.4490
4、；收益率减少10个基点时，价格为96.9704。 根据上式可得，债券的近似久期为,4.5 债券的凸度 4.5.1 久期的局限性 根据式（4-3），债券价格变化的百分比作为到期收益率变化的函数，其图形是一条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。 例如，图4-3中的债券A为30年期、8息票利率、初始到期收益率8的债券，可知其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升1个基点时，债券价格将下跌11.260.00010.001126，即0.1126。也就是说，根据修正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为998
5、.875元。,然而，从图4-1以及关于债券价格的利率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。图4-3表明了这一点。债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期法则预期的价格变化百分比的直线相切于该点。这说明，对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。但随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。,从图4-3还可以看到，久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说
6、，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。 债券A和债券B在初始处有相同的久期，但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相同。对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸度。,4.5.2 债券凸度的计算 价格-收益曲线的曲率就称为债券的凸度（convexity measure）。凸度意味着债券的价格-收益曲线的斜率随着收益率而变化：在较高收益率时变得平缓，即斜率是较小的负值；在较低收益率时变得陡峭，即斜率是较大的负值。 因此，凸度实际上是价格-收益曲线斜率的变化率。由式（4-3）可以得 可见，Dm
7、od是价格-收益曲线的斜率，凸度等于Dmod对y的导数,求出 ，可得付息周期数为n，周期收益率为y的债券的凸度计算公式如下： 其中， Ct为t时刻的现金支付。 利用下面的公式可把分期限计算的凸度转化为按年计算的凸度： 其中m为每年的付息次数。 对于零息票债券，有,美元凸度,4.5.3凸度与美元久期,4.5.4 properties of convexity,Property 1: As the required yield increases(decreases),the convexity of a bond decreases(increases).This property is ref
8、erred to as positive convexity. Property 2:For a given yield and maturity,the lower the coupon,the greater the convexity of a bond. Property 3:For a given yield and modified duration,the lower the coupon,the smaller the convexity.,4.5.4凸度的特性,1、收益率增加，债券的美元久期减少；收益率减少，债券的美元久期增加。 2、对于给定的收益率和到期期限，票面利率越低，
9、债券的凸度越大。 3、给定收益率和修正久期，票面利率越低，债券的凸度越小。 4、久期增加时，凸度以加速度增加。,凸性的价值,例 4.7 债券面额100元，到期期限5年，票率6，利率也是6，半年付息一次，求债券变动一个百分点债券价格将作何变动？变动金额是多少？,4.5.5 债券投资组合的凸性（与债券投资组合久期的计算类似） 理论计算 实务计算,4.5.6 考虑凸度的利率敏感性 考虑凸度后，式（4-3）可以修正为： （4-4） 由式（4-4）可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增
10、长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。,小结：凸性 凸性被用来近似描述不能被久期解释的价值变化 凸性度量(convexity measure)的计算(一种形式) 例：对息票率为9%、期限20年的债券，如果到期收益率为6%，则对20基点的收益率变化，可得：C=81.96,价值变化的凸性调整 价值变化百分比的凸性调整=凸度(y)2100% 调整的债券价格变化近似百分比 债券价格变化近似百分比=-Dmod y100%+ 凸度(y)2100% 例(续)：如果收益率从6%增加到8%， 价值变化百分比的凸性调整=81.96(0.02)2100%=3.28% 基于久期的债券价格变化近似百分比=-D
11、mod y100% =-21.32% 债券价格变化总的近似百分比=-21.32%+3.28%=-18.04% 而债券实际价格变化为-18.40%，与近似值-18.04%很接近。,如果收益率从6%减少到4%，价值变化的凸性调整仍然是3.28%。 基于久期的债券价格变化近似百分比=-Dmod y100% =21.32% 债券价格变化总的近似百分比=21.32%+3.28%=24.60% 而债券实际价格变化为+25.04%，与近似值+24.60%很接近。 凸性大于零： 无嵌入期权的债券的凸性大于零 对同样基点的收益率变化，赢利大于损失 套利机会(久期相同，购买凸性大的债券；卖空凸性小的债券)？,凸性
12、小于零： 可赎回债券的凸性小于零 套利机会(久期相同，购买凸性小的债券；卖空凸性大的债券)？ 对同样基点的收益率变化，赢利小于损失 例：对一可赎回债券，其有效久期为4，凸性为-30，对于200基点的收益率变化， 价值变化百分比的凸性调整=-30 (0.02)2 100%=-1.2% 如果收益率增加200基点， 基于久期的变化=-8.0%,凸性调整=-1.2% 估计的总价格变化=-8.0%-1.2%=-9.2% 如果收益率减少200基点， 基于久期的变化=+8.0%,凸性调整=-1.2% 估计的总价格变化=+8.0%-1.2%=+6.8%,修正的凸性和有效凸性 修正的凸性 计算凸性时，假设当收益
13、率变化时，债券期望的现金流不会改变 有效凸性 计算凸性时，假设当收益率变化时，债券期望的现金流可能会改变 对无嵌入期权债券 修正的凸性和有效凸性相同，且大于零 对有嵌入期权债券 修正的凸性和有效凸性通常不同 修正的凸性大于零 有效凸性可能小于零,4.5.7 凸度的近似计算,例：一5年期债券，票面利率为8，收益率为9（价格为96.04364元），收益率上升20个基点时，价格为95.27563，收益率下降20个基点时，价格为96.81929。求其凸度。,4.5.8可赎回债券的凸性,不可赎回债券的凸性是正的。但对于可赎回债券来说，情况有所不同。,Dont think of duration as a
14、 measure of time,思考,为什么说用久期衡量利率风险时暗含一个重要假设：债券价格与利率的关系是线性的？ 利用凸性来辅助久期衡量利率风险时，凸性的功能是如何体现的？,questions,1.State why you would agree or disagree with the following statement:as the duration of a zero-coupon bond is equal to its maturity,the price responsiveness of a zero-coupon bond to yield changes is th
15、e same regardless of the level of interest rate. 2.State why you would agree or disagree with the following statement:If two bonds have the same dollar duration,yield,and price,their dollar price sensitivity will be the same for a given change in interest rates.,3.State why you would agree or disagr
16、ee with the following statement: For a 1-basis point change in yield,the price value of a basis point is equal to the dollar duration. 4.Consider the following two Treasury securities: Which bond will have the greater dollar price volatility for a 25-basis-point change in interest rates? 5.What are the limitations of using duration as a measure of a bonds price sensitivity to interest-rate changes?,6.You are a portfolio manager who
