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1、1,第三章,数列,2,3.1 数列的概念,3,一、数列的定义 1.按_排成的一列数叫做数列，其一般形式为a1,a2,an,简记为an. 2.数列是一种特殊的函数，其特殊性表现在它的定义域是正整数集或正整数集的子集，因此它的图象是_. 二、数列的通项公式 一个数列an的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式an=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.,一定顺序,一群孤立的点,4,三、数列的分类 (1)按照项数是有限还是无限来分：有穷数列、无穷数列. (2)按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.递增数列与递减数列统称为单调数列. (3)
2、按照任何一项的绝对值是否都不大于某一正数来分：有界数列、无界数列.,5,四、数列前n项和Sn与an的关系 1.Sn=_(用an表示)； 2.an=_(用Sn表示). 盘点指南：一定顺序；一群孤立的点；a1+a2+a3+an;,a1+a2+a3+an,6,1.已知数列an、bn的通项公式分别是：an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数)，且ab.那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无穷多个 解：an=bn an+2=bn+1 (a-b)n=-1. 由于ab，nN*. 所以(a-b)n=-1无解.故选A.,A,7,2.已知数列an中，a1
3、=1，a2=3， (n3)，则a5等于( ) A. B. C. 4 D. 5 解：a1=1，a2=3， (n3) ,A,8,3. 已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak8，则k等于( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 解：因为数列an的前n项和Sn=n2-9n, 所以，当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-10; 当n=1时，a1=S1=-8,满足上式， 故an=2n-10(nN*). 5ak8 52n-108 n9.故选B.,B,9,1. 写出下面数列的一个通项公式：,题型1 根据数列前几项 写出数列的一个通项公式,10,11,12,写出下面数列的一个通项公式：,
4、13,14,15,16,2. (原创)设数列an的前n项和为Sn，分别在下列条件下求数列an的通项公式. (1)an+Sn=2； (2)an=SnSn-1(n2，Sn0)， 解：(1)当n=1时，a1+a1=2，解得a1=1. 当n2时，由an+Sn=2，得an-1+Sn-1=2. 此两式相减得2an-an-1=0，即 所以an是首项为1，公比为 的等比数列，,题型2 运用an与sn的关系解题,17,即an=( )n-1. 由于n=1时，也符合上式， 所以数列an的通项公式是an=( )n-1(nN*). (2)当n2时,an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1=SnSn-1， 所以 =-1(
5、n2)，所以数列 为 等差数列. 所以， 当n2时，an=Sn-Sn-1,18,所以 点评：由数列的前n项和Sn得an的关系 是： 一般分n=1与n2 进行讨论，如果n=1时的通项公式也符合n2 的式子，则可以合并成一个通项公式，如果 不能合并，则按分段形式写结论.,19,设数列an的前n项和为Sn，分别在下列条件下求数列an的通项公式. (1)Sn=3n-2; (2)Sn=n2+2n. 解：(1)当n=1时，a1=S1=1; 当n2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=23n-1. 由于a1=1不适合上式，因此数列an的通项公式为,20,(2)当n=1时，a1=S1=3; 当
6、n2时，an=Sn-Sn-1 =n2+2n-(n-1)2-2(n-1) =2n+1. 因为a1=3满足上式，所以数列an的通项公式为an=2n+1(nN*).,21,3. 设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an= ，nN*，求数列an的通项公式. 解：依题意得a1+3a2+32a3+3n-1an= , a1+3a2+32a3+3n-2an-1= (n2)， 由-得3n-1an= (n2). 所以 (n2). 验证n=1时也满足上式，故数列an的通项公式 为 (nN*).,题型3 由递推关系式求递推公式,22,点评：数列是特殊的函数，数列的递推关系式反映的就是函数的一个对应关系.如果
7、已知的是n=k时的命题，则n=k-1(k2)时的命题，或n=1时的命题的相应形式我们应该能准确的写出来，然后由这些式子经过加减等运算得到我们所需要的递推关系式或通项公式.,23,数列an满足a1= a1+a2+ +an=n2an，则数列an的通项公式an=_. 解：设数列an的前n项和为Sn，则Sn=n2an. 所以当n2时，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1， 所以 所以,24,1. 根据数列的前面几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项(a1，a2，a3，)与项数(1，2，3，)之间的关系，常用方法有观察法、逐项法、转化为特殊数列法等. 2. 利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用，同时要注意a1并不一定能统一到an中去.,25,3. 已知数列的递推关系式求数列的通项公式，解此类题型的方法一般是将已知的递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或转化为基本数列(等差或等比数列)的方法求通项公式. 4. 数列中有两个重要变形，在适当条件下，注意使用： (1)an=a1+(a2-a1)+(an-an-1); (2) (an0).,
