2015山东文理解析几何解答题研究

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1、2015 山东高考数学文理科解析几何解答题研究（2015 山东高考理科 20 题）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦xOy2:1(0)xyCab32点分别是 ,以 为圆心，以 3 为半径的圆与以 为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 C 上.12F1 2F（）求椭圆 C 的方程；（）设椭圆 ，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 交椭圆2:4xyEab ykxmE 于 A,B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.（）求 的值；（）求 面积最大值.|OQABQ解析：（）由椭圆 的离心率为 可知 ，而 则 ，2:1(0)xyCab3232cea22bc,3ab

2、c左、右焦点分别是 ,设两圆的一个交点为 ，由题意知：12(3,0)FbWWF41321故 椭圆 C 的方程为 .。 。 。注：11 年山东高考第一次考察椭圆定义！2,b4,a14xy（） （） （法一）椭圆 E 的方程为 ，设点 ，满足 ，射线 ，260(,)Pxy2014xy0:()yPOx代入 可得点 ，于是 .。 。 。注：此问方式较多！2164xy0(,)Qxy2200(|OQxy（） （） （法二）椭圆化圆： ，椭圆1,22 yCy、，42yxE可 化 为 圆 ：如下图由数形结合知： POQ21r（） （） （法一）椭圆化圆： ,椭圆 ，1,22 yxCyx、 42yxE可 化 为

3、 圆 ：104)(4632 22 dABOd dSSOABQ的 距 离 ，到 直 线为其 中 O PQ 364)(622dSABQ（） （） （法二：常规）点 到直线 距离等于原点 O 到直线 距离的 3 倍：0(2,)xyABAB22| |311kmdk，得 ，整理得264yx224()6x22(14)84160kxm，22221()()0km222| 64)4ABkm222221| |164|3164mkSdk 2222 )()46(k、而直线 与椭圆 C： 有交点 P，则 有解，yxm14xy24ykx即 有解，22224(),(14)80xkmk其判别式 ，2261()16()0kmk

4、m即 ，设 ，214k,042t 36)()1(622 tkmS等号当仅当 时取！4今年文科比理科少简单几乎一样，不再研究！（） （） （法三）三角代换令 ，)sin2,co()sin2,co( BA、 )si(1132 yxSAOBQ当面积最大时 的中点在椭圆 C 内或上， 1)2sini(42cos2223)sin(1)(cos412)cos(1)sin()cos( 222 36i13ABOQS研究解读：（一）整体问题：这是本题最大的难点！根本在于发现 ！2222 )41()416( kmkm、 241kmt这就是个“整体”的问题！所谓“换元”一般是在问题比较复杂且具备“整体性”时运用的一

5、种转化方式，因此换元只是一种形式，观察事物的本质也就是具备整体性的“元素”才是转化的根本！我们回顾一下：（1）2013 文科 22 题“核心问题”： 、 、0.(3421 04)21(3)421()4126-)(3.( 6)() 22222 222 bk bkbkbkdABSO（2）2011 理科 22 题“核心问题”： 、 2222 222)3(.30)3( 0)(4)(4(6 kmkmk mS （3）2012 文科 22 题“核心问题”： 时求 的最大值这个问题：152)-(5STPQ（法一）令 ， ，以下略！2,5-3t 45)3-t1(464)-3(4 222 tS（法二）令 ，则 ，

6、以下略！4,1-mt -5)-(522tmTPQ（法三）令 ，表示 连线的斜率；以下略！,1,-3)(0)-3(522k )-,(032以上 3 种方法都是“整体”本质的研究问题！（4）2008 山东文科 22 题“核心问题”： ，求其最小值及此时的 K.)45)(22ky（法一） ，以下略！2222 )1(010)14(5,1 ttttkt 、（法二） 、 1454942)()()45)( 222222 kkkky其实此题的前一年即 2007 年全国卷 21 题中曾出现： 2)1(3ky、对比 2009 山东理 22： ，求其最值及此时 k 的值。 （思考： 呢？）1452ky )12(4k

7、y研究解读：（二）转化问题：本题 当然不会白证！这是为了将面积转化成较好求得其他面积！一般常见方式为：等2200()()|xyOQP底转化、等高转化、按比例转化、割补转化等。下面回顾对比：（1）2014 山东高考数学理科 21 题：已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过2:(0)CypxFAC点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 .当点 的横坐标为 3 时， 为正三角AlCBxD|AADF形.（）求 的方程；（）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，1/l1l E（）证明直线 过定点，并求出定点坐标；AE（） 的面积是否存在最小值？若存在，请求B出最小值；若

8、不存在，请说明理由.解析（） （） （法二）巧用切线转化三角形面积，与 2014 青岛二模 20 题类似。下面看关键部分：、 21168212 8212)0,(),4( 0000 000020 yxyx yxHDSyHBABE此种方法较标准答案间接很多，整个过程如果结合“点差法”几乎可以口算！（2）2015 青岛一摸文科 20 题：直线 与椭圆 相交于 、 两不同点，若椭圆 上一点 满足:()lykx、CEFCP.求 面积的最大值及此时的 ./OPlEF2解析：（）关键部分： ，/OPl12EPFOSd22(1)k（又因为 ，又 ， 2218160k0kk令 ，则 ，当 时取等号！(,)t22

9、2()31()46tt（ 1241,36tk本题风格上模仿 2014 理科 21 题但是就“转化求面积”而言还是与今年高考题高度吻合！本题其实还有一种解法：设 ， ，下略。)sin,co()sin,co2( FE、 2)sin(2211 yxSEOFP研究解读：（三）椭圆定义问题（迟来的爱）及圆与椭圆交汇问题，下面回顾 2015 个人预测夜半轻私语：椭圆 的左右焦点分别 ， ，以 为直径的圆与)0(1:2bayxC )0,3(),(21、)0(,0yPOPEF DBGAHW分别交于除 外的 两点，且 。 （1）求椭圆 的标准方程；21PF、 FE、 340FOyC解析：（1） 34232123

10、12 11000 2 aPFFSEOyOy PO、以下略。这个文件我已经在高考前发给每一位数学老师。研究解读：（四）椭圆化圆问题椭圆化圆的初步研究胶州市实验中学刘红升 2015.8椭圆化圆就是通过“伸缩变换”将坐标空间伸缩，使椭圆转化成圆（有些题目须再化回椭圆） ，使问题的运算量下降、难度降低，毕竟圆的“数形结合”属性要比椭圆明显好用的多！这也是转化化归思想的体现。并不是所有椭圆问题都可以化圆处理，必须保证转化前后的等价性。目前我认为能够明确等价的是：“直线与椭圆的位置关系”伸缩后等价于“直线与圆的位置关系” ；直线平行关系等价；（直线的垂直关系及夹角大小一般会改变） ；面积与伸缩成正比；直线

11、斜率与伸缩反比；坐标与完全伸缩同步。平行或共线的线段长度比值不变！相互垂直的线段比值化其中一个关于 y=x 对称点后不变（见后面 08 文）！（证明略，其他情况暂不可控！）目前为止，我尚不能确定长度、角度是否存在可实际操作的关系，暂认为“不可控” 。由于山东高考题 11 年来文理科均有一些题目必须依赖长度，因此能够用“椭圆化圆”处理的题目比例约为 60%多一点（准确统计见后面的统计表） ，尽管“椭圆化圆”不是一种放之四海皆准的“通法” ，但依然有很大的使用价值，从知识上看：近几年尖子生难以逾越140 与解析几何关系最大，我们岂能因循守旧坐以待毙！ 11, 22 yxbyaxbxyax 可 转

12、化 为则 椭 圆SababS mkbamkmk 、 、,1 ,椭圆化圆在山东高考中的有效率统计：2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 山东理科抛物线 双曲线 椭圆 抛物线 椭圆 椭圆 椭圆 抛物线 椭圆 抛物线 椭圆不可用 不可用 可用 不可用 不可用 不可用 有效 不可用 有效 不可用 有效 椭圆化圆2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 山东文科抛物线 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆不可用 有效 可用 有效 不可用 可用

13、有效 不可用 有效 有效 有效 椭圆化圆椭圆有效率 11 年 近 9 年 近 5 年 近 3 年山东文科总有效率 54% 56% 80% 100%山东文科椭圆类有效率 60% 56% 80% 100%山东理科总有效率 28% 33% 60% 67%山东理科椭圆类有效率 50% 50% 100% 100%个人感悟：有时候我就在想：难道学生的水平尤其是尖子生的水平真的连我都不如？不可能吧！看看高考最难的问题其实每年都变化不大，为什么这些压轴题我一遍都能做（今年不好意思把第一问算错了）对而学生甚至是尖子生都难以完成呢？理科用概率作为借口理由也未必充分！因为 2006 年山东理科概率就是考得 20 题，就是涉及排列组合，比今年的题更难更易错（有重复问题） ，难道大家高考前没有做吗？2010 年理科概率不也是考得 20 题，运算量更大情况更多，当年业务考试就考得这一道题我都算错了，难道老师们业务考试都是抄的答案吗？难道还有那一年的高考题选择填空比今年的更简单吗？所以，我对于山东省前 50 名理科学生如此多的考生不到 140 分很诧异，我想这也是我们的机会。说明全省各地都是题海泛滥如滔滔黄河之水。 。 。 。 。 。