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1、最优化方法 Optimization 第五讲,第三章 单纯形法,主要内容 (分2讲),单纯形法 两阶段法 退化情形 处理方法: Bland法则 修正单纯形法 线性规划的最优性条件,单纯形法 The Simplex Method,*可行域的极点对应LP问题的基(本)可行解 *LP的最优解一定可以在基(本)可行解中找到,1. 单纯形法的步骤,初始基可行解,最优性条件,最优解,换基迭代,新的基可行解,N,Y,LP基本定理:,2. 举例,化成标准形,找初始基可行解,判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?,换基迭代,换基：找一个非基变量作为换入变量，同时 确定一个基变量为 换出变量。
2、,依据原则：,1)新的基可行解能使目标值减少；,2)新的基仍然是可行基。,确定换入变量：,选取x1为换入变量,确定换出变量:,迭代（求新的基本可行解）,主元素,判断,代入目标函数得,确定进基变量和出基变量,换基迭代,判断,代入目标函数：,最优解：,设(L)有一个初始基,初始基本可行解为:,考虑xk的取值,单纯性法计算步骤,初始基为B,初始基本可行解为x(0)=(B-1b 0)T,是否yk=B-1Pk0,例1,例2,表格形式的单纯形方法,单纯形表,f xB xN 右端,xB f,0 Im B-1N B-1b,1 0 cBB-1N-cN cBB-1b,主元消去法,检验数基 函数值等的变化-矩阵运算
3、,单纯形法的进一步讨论,无界解,O,z-,结论：若zj-cj0,对应的系数列向量0，则该LP存在无界解。,x1 x2 x3 x4,-2 -3,1,无限多个解,7,45/7,结论：若某个非基变量的检验数为零，则该LP存在多个最优解。,课外练习,第六讲 单纯形法之完善 两阶段法,xa的每个分量称为人工变量.,两阶段法,第1阶段:用单纯形法把人工变量变为非基变量， 求出原问题的一个基可行解。,方法：求解下列模型,基 变 量,第2阶段: 从得到的基本可行解出发, 用单纯形法求(L)的最优解.,1,2,求解第1阶段问题：,开始第2阶段：,2,1,-5,1,1,退化情形(自学),-4,1,*在单纯形法的计
4、算过程中，确定出基变量时存在两个或两个以上的最小比值，这时会出现退化解。,*有时，退化会造成计算过程的循环，永远达不到最优解。,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,1 1/4 -8 -1 9,0 1 0 1/2 -12 -1/2 3,0 0 1 0 0 1 0,0 0 0 3/4 -20 1/2 -6,4 0 0 1 -32 -4 36,-2 1 0 0 4 3/2 -15,0 0 1 0 0 1 0,-3 0 0 0 4 7/2 -33,x1 x2 x3,x4 x2 x3,0 0 1,0 0 1,0,0,-12 8 0 1 0 8 -84,-1/2 1/4 0 0 1 3/8 -15/
5、4,0 0 1 0 0 1 0,-1 -1 0 0 0 2 -18,x4 x5 x3,0,0 0 1,1/4,4,8,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7,-3/2 1 1/8 0 1 -21/2,1/16 -1/8 0 -3/64 1 0 3/16,3/2 -1 1 -1/8 0 0 21/2,2 -3 0 -1/4 0 0 3,2 -6 0 -5/2 56 1 0,1/3 -2/3 0 -1/4 16/3 0 1,-2 6 1 5/2 -56 0 0,1 -1 0 1/2 -16 0 0,x6 x5 x3,x6 x7 x3,0 0 1,0 0 1,0,0,1 -3 0 -5/4 28
6、1/2 0,0 1/3 0 1/6 -4 -1/6 1,0 0 1 0 0 1 0,0 2 0 7/4 -44 -1/2 0,x1 x7 x3,0,0 0 1,3/16,2,1/3,发生循环的线性规划问题的特点：,1. 线性规划必然是退化的，即存在某个基变量取值为0。,解决退化的方法有：“摄动法”、“字典序法”、 Bland规则等,1974年Bland提出Bland法则：,知识应用 讨论题,在求解极小化LP问题中，得到如下单纯形表：（无人工变量）,1、当前解为最优解时，各参数应满足的条件； 2、原问题存在无界解时，各参数应满足的条件； 3、原问题存在多个解时，各参数应满足的条件； 4、当 x4 作为进基变量取代 x5 时，目标值的增量为多少？,修正单纯形法-(自学),基本思想：,在整个计算过程中，始终保存现行基的逆。,计算步骤,用修正单纯形法求解下列线性规划问题：,构造初始表,第一次迭代:,1,第二次迭代：,5,进行主元消去,第三次迭代：,线性规划的最优性条件,问题：最优解具有什么特征？,Farkas引理,
