《2013年春西南大学《数学分析选讲》作业及答案(共5次已整理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年春西南大学《数学分析选讲》作业及答案(共5次已整理)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013 年春 西南大学数学分析选讲作业及答案(共 5 次,已整理)第一次作业【主观题】【论述题】一、判断下列命题的正误1. 设 为非空数集。若 有上界，则 必有上确界；若 有下界，则 必有下确 SSS(正确)2. 收敛数列必有界. (正确)3. 设数列 与 都发散，则数列 一定发散. (错误)nabnab4若 为无上界的数集,则 中存在一递增数列趋于正无穷. (正确)SS5若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确)二、选择题1设 , 则 ( A ) .2,1()3xf1)fA ； B ； C ； D 022 “对任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时，恒有 ”是数),0(Nn2|nxa
2、列 收敛于 的（ A ）.nxaA 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件3若数列 有极限 ,则在 的 邻域之外，数列中的点（ B ）nxa(0)A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4数列 收敛，数列 发散，则数列 （ D ） nxnynxyA 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散5设 ，则 （ C ）an|limA 数列 收敛； B ；x axnlimC 数列 可能收敛，也可能发散； D ； n 6若函数 在点 极限存在，则（ C ）)(xf0A 在
3、 的函数值必存在且等于极限值；B 在 的函数值必存在，但不一定等于极限值；)(xf0C 在 的函数值可以不存在；D 如果 存在的话必等于函数值)(0xf7下列极限正确的是（ D ）A ； B ； C ； D 01limsnxsinlm1x1lisn0x01limsnx8 （ D ）102lixA 0； B 1 ； C ； D 不存在1三、计算题1求极限 .9027)15(863limxx解: 902790279027 58315863lim)(li xxxx2求极限 . 21lim()xx解： 21li()xx21lix21limxx2(4)1li(xx.264e3 求极限 11lim()23
4、nn解：由于 又 由迫敛性定理 1()n ， lim1n，11li()23nn4考察函数 的连续性.若有间断点指出其类型.),(,lim)( xxfxn解： 当 时，有 ；同理当 时，有0x21()limlixxnnf0x.而 ，所以 。所以 是 的跳跃间断点. ()1fx()f,0()sg1,fxxf四、证明题设 ， ，且 . 证明：存在正整数 ，使得当 时，anlimbnliaNn有 .nba证 由 ，有 . 因为 ，由保号性定理，存在 ，ba22limban01使得当 时有 。 又因为 ，所以，又存在 ，使1Nn2N得当 时有 . 于是取 ，当 时，有2n ,ax21Nnnba【客观题】
5、【判断题】狄利克雷函数 D(x)是有最小正周期的周期函数 错【选择题】设数列An收敛，数列Bn发散，则数列AnBn D【判断题】收敛数列必有界 对【判断题】两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量 对【判断题】若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在 错【选择题】设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 minf(x),g(x)是(a,b) 上的A【选择题】设 f 在a,b上无界，且 f(x)不等于 0,则 1/f(x)在a,b上 D【判断题】闭区间上的连续函数是一致连续的 对【判断题】两个收敛数列的和不一定收敛 错【判断题】有上界的非空数集必有上确界 对【判断题】两个无穷小量的商一
6、定是无穷小量 错【选择题】若函数 f 在(a,b)的任一闭区间上连续，则 f B【选择题】一个数列An的任一子列都收敛是数列An收敛的 C【判断题】若 f,g 在区间 I 上一致连续，则 fg 在 I 上也一致连续。 错【判断题】区间上的连续函数必有最大值 错【判断题】两个收敛数列的商不一定收敛 对【选择题】设函数 f(x)在（a-c,a+c）上单调，则 f(x)在 a 处的左、右极限 B【选择题】定义域为a,b,值域为（-1，1）的连续函数 B【选择题】y=f(x)在 c 处可导是 y=f(x)在点(c，f(c)处存在切线的 A【判断题】最大值若存在必是上确界 对【选择题】设 f,g 在（-
7、a,a)上都是奇函数，则 g(f(x)与 f(g(x) A【判断题】两个无穷大量的和一定是无穷大量 错【选择题】函数 f 在 c 处存在左、右导数，则 f 在 c 点 B【判断题】若函数在某点可导，则在该点连续 对【判断题】若 f(x)在a,b上有定义，且 f(a)f(b)0,则在(a,b)内至少存在一点 c,使得f(c)=0 错第二次作业【主观题】【论述题】一、判断下列命题的正误1. 若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在. （错误）2. 若 在 上连续，则 在 上一致连续 （错误）)(xf,ab)(xf,ab3. 若 在 上有定义，且 ,则在 内至少存在一点 ,使得0f(,)ab. （
8、错误）()0f4. 初等函数在其定义区间上连续. （正确） 5闭区间 的全体聚点的集合是 本身. （正确）,ab,ab二、选择题1下面哪些叙述与数列极限 的定义等价（ A ）nlimA ， ， ， ；)1,0(N|anB 对无穷多个 ， ， ， ；0N|C ， ，有无穷多个 ， ； |AnD ，有 的无穷多项落在区间 之内0na),(2任意给定 ，总存在 ，当 时， ，则（ A ）M0XXxMxf(A ； B ； C ； D )(limxfx )(limfx )(limxfx3设 为定数 .若对任给的正数 ，总存在 ，当 时， ，则（ a0XXx()fxaD ）.A ； B ； C ； D l
9、im()xfli()xfalim()xfalim()xf4极限 （ B ）xx10)2(limA ； B ； C ； D 12e2e1e5 （ C ）21sin()lxA 1 ； B 2 ； C ； D 206定义域为 ，值域为 的连续函数 （ C ）,ba),(A 存在； B 可能存在； C 不存在； D 存在且唯一7设 在 处连续， 则 （ D ）)(xf12),0 xkxkA 1 ； B ； C ； D e121e8方程 至少有一个根的区间是（ D ）40xA ； B ； C ； D (0,)21(,)2(2,3)(1,)三、计算题1求极限 nn3131lim2解： 231li31312
10、2li nnnn2求极限 2221lim( )nnn解：因为 222211 2又 ，所以由迫敛性定理，lin2lin222211limnnn3求极限 )1(10)10(3)()(li 22xxxx 解：2222(1)()()lix22222211()()(3)(0)lim017.612xxxx 4求极限 2sinlm0x解： 00i(1)sin2lli1xx x0 0()sin2()ili lim4x x四、证明题设 在 上连续，且 . 证明：存在 使得,fg,ba(),()fagfb(,)ab.()f证： 令 ,则 在 上连续，又()()Fxfgx()F,ab0aa()()bfb用零点存在定
11、理，存在一点 ，使得 ，(,)b()0F即 ()0fg【客观题】【判断题】若 f 在区间 I 上连续，则 f 在 I 上存在原函数。 对【判断题】不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。错【判断题】若函数在某点的左右导数都存在，则在该点可导 错【判断题】若函数在某点可导，则在该点的左右导数都存在 对【判断题】可导的单调函数，其导函数仍是单调函数。 错【判断题】闭区间上的可积函数是有界的 对【判断题】若 f 在实数集 R 上是偶函数，则 x=0 是 f 的极值点。 错【判断题】可导的偶函数,其导函数必是奇函数 对【判断题】若函数在某点的左右导数都存在，则在该点连续。 对【判
12、断题】若 f、g 在a,b上的可积，则 fg 在a,b上也可积 对【判断题】若 f 是a,b上的单调函数，则 f 在a,b上可积。 对【判断题】若函数 f 在区间 I 上单调,则 f 在 I 上的任一间断点必是第一类间断点 对【判断题】若两个函数的导数处处相等,则这两个必相等 错【判断题】若函数 f 在数集 D 上的导函数处处为零，则 f 在数集 D 上恒为常数。 错【判断题】可导的周期函数,其导函数必是周期函数 对【判断题】任一实系数奇次方程至少有一个实根 对【判断题】若 f,g 均为区间 I 上的凸函数，则 f+g 也为 I 上的凸函数。 对【判断题】若函数 f 的导函数在区间 I 上有界
13、，则 f 在 I 上一致连续。 对【判断题】实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点 对第三次作业【主观题】【论述题】一、判断下列命题的正误1. 若函数 在点 处的左、右导数都存在，则 在 处必连续. （正确）)(xf0 )(xf02. 若 在 处可导，则 在 处可微 （正确）)(xf03. 若两个函数在区间 上的导数处处相等,则这两个函数必相等. （错误）I4. 若 是可导的偶函数，则 . （正确） )(xf ()f5若 是 的导函数的间断点，则 是 的第二类间断点.（正确）0,ab)(xf 0x()f二、选择题1设 是奇函数，且 ， 则 （ A ）f 0lim0fxA 在 的切线平行于 轴； B
