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1、,1.2.1 极限与函数的连续,1.2.3 偏导数与全微分,1.2.2 导数与微分,1.2 微分学,1.2.4 导数与微分应用,1.2.1 极限与函数的连续,1. 函数,定义:,定义域,值域,设,函数为特殊的映射:,其中,定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。,函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,复合函数,初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与,复合而成的一个表达式的函数.,例如. 函数,2 极限,极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),极限存在准则及极限运算法则,无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,两个重要极限
2、,重点：求极限的基本方法,洛必达法则,例1. 求下列极限：,提示:,令,3. 连续与间断,函数连续的定义,函数间断点,第一类（左右极限存在）,第二类（左右极限至少有一个不存在）,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,重要结论：初等函数在定义区间内连续,例2. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例3. 设函数,试确定常数 a 及 b .,1.2.2 导数和微分,导数 定义:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,导数几何意义:切线斜率,1.
3、有关概念,例4.设,在,处连续,且,求,解:,2.导数和微分的求法,正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）P10,隐函数求导法,参数方程求导法,高阶导数的求法(逐次求一阶导数）,例5. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例6.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,1.2.3 偏导数与全微分,1. 多元显函数求偏导和高阶偏导,2. 复合函数求偏导,注意正确使用求导符号,3. 隐函数求偏导,将其余变量固定，对该变量求导。,4. 全微分,5. 重要关系:,例7. 求,解法1:,解法2:,在
4、点(1 , 2) 处的偏导数.,解：设,则,例8. 设,1.2.4 导数与微分的应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,函数单调性的判定及极值求法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,在开区间 I 内可导,2. 研究函数的性态:,极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,极值第二判别法,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,例9. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例10. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需
5、用第一判别法判别.,例11. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,凹弧凸弧的分界点为拐点,例12. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,的连续性及导函数,例13. 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,
