2012新高考全案第2章函数与基本的初等函数第4讲函数的奇偶性及周期性

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1、1奇函数、偶函数定义 (1)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ;即互为相反数的两个自变量值对应的函数值互为相反数,那么函数f(x)就叫做奇函数 (2)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,即互为相反数的两个自变量值对应的函数值相等那么函数f(x)就叫做偶函数,f(x)f(x),f(x)f(x),2奇函数和偶函数的性质 (1)奇函数图象关于 对称;偶函数图象关于 对称 (2)偶函数在区间(a,b)上递增(减),则在(b,a)上 ,奇函数在区间(a,b)与(b,a)上的增减性 ,原点,y轴,递减(增),相同,4周期函数定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当

2、x取定义域内的每一个值时,都有 ,那么函数f(x)就叫做周期函数,T为函数的一个周期,f(xT)f(x),1(2010广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R,则( ) Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数,g(x)为奇函数 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析 f(x)3x3xf(x), g(x)3x3xg(x) 答案 B,答案 C,3(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时,f(x)2x2xb(b为常数),则f(1)( ) A3 B1 C1 D3 解析 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)0,可

3、求得b1,f(1)f(1)(212b)3.故选D. 答案 D,(4)当x0,则f(x)(x)2x (x2x)f(x); 当x0时,x0,则f(x)(x)2xx2x (x2x)f(x) 对任意x(,0)(0,)都有f(x)f(x)f(x)为奇函数,(5)函数的定义域为R. 当a0时,f(x)x2|x|1.有f(x)f(x), f(x)是偶函数 当a0时,f(a)a21,f(a)a22|a|1. f(a)f(a) 且f(a)f(a)2(a2|a|1),点评与警示 判断函数的奇偶性,应首先求出函数的定义域,并视定义域是否关于原点对称只有定义域关于原点对称,才有验证是否有f(x)f(x)或f(x)f(

4、x)的必要,已知f(x)是定义在(1,1)上的偶函数,且在区间0,1)上是增函数,若有不等式f(a2)f(3a)0成立求实数a的取值范围,点评与警示 本例题的求解过程中,既要利用函数的奇偶性,又要利用函数的单调性求解此类问题的一般思路有两条:一是就a2与3a的符号进行分类讨论(过程繁琐);二是利用偶函数的性质f(x)f(x)f(|x|)而得到“|x1|x2|f(x1)f(x2)”,已知f(x)是定义在(1,1)上的偶函数,且在区间(1,0上是减函数,若有不等式f(a2)f(a3)0成立,求实数a的取值范围,分析 (1)通过建立方程,求出a、b的值确定f(x)的解析式(3)利用函数的单调性脱掉“

5、f”,点评与警示 (1)如果一个奇函数在x0处有定义那么f(0)0. (2)解不等式f(t1)f(t)0时,注意函数定义域对t的限制,已知奇函数f(x)定义在R上,其图象关于直线x1对称,当x0,1时,f(x)2x1. (1)当x1,0)时,求f(x)的表达式; (2)证明f(x)是周期函数,并求出它的一个周期; (3)当x4,5时,求f(x),解 (1)当1x0时x(0,1,而f(x)2x1,且f(x)是奇函数所以f(x)f(x),即f(x)f(x)2x1. (2)因为f(x)的图象关于直线x1对称,所以f(x) f(2x),用x替换x,就有f(x)f(2x)由f(x)是奇函数得f(x)f(

6、x),所以f(2x)f(x),进而f(x4)f(x2)f(x)可知f(x)是周期函数,4是它的一个周期 (3)当4x5时,0x41.所以f(x4)2x41. 而f(x4)f(x),所以f(x)2x41(x4,5)为所求,点评与警示 (1)已知奇函数f(x)的图象关于xa对称,则f(x)是周期函数,且4a为其中的一个周期;若偶函数f(x)的图象关于直线xa对称,则2a为其中的一个周期 (2)注意分清函数图象的几种关系:若f(x)满足f(ax)f(ax),则f(x)的图象关于直线xa对称 若f(x)满足f(xa)f(xa),则f(x)的周期为2a. 函数yf(xa)与函数yf(ax)图象关于直线xa对称,1判断函数奇偶性就是看f(x)与f(x)是否有相等关系或互为相反数的关系 2函数的奇偶性是对整个定义域而言的,因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域“函数的定义域关于原点对称”是它具有奇偶性的前提 3要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性要充分利用f(x)与f(x)之间的转化关系和图象的对称性解决有关问题,

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