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1、2010届高考数学复习 强化双基系列课件,82导数的应用,导数的应用理科用,一、复习目标,了解可导函数的单调性与其导数的关系. 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号), 会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.,二、重点解析,对于可导函数 f(x), 先求出 f(x), 利用 f(x)0(或0)求出函数 f(x) 的单调区间;,利用 f(x)=0, 求出 f(x) 的极值点, 把极值点对应的函数值与区间端点所对应的函数值进行比较, 求出最值.,如果函数在区间内只有一个点使 f(x)=0, 此时函数在这点有极大(小)值, 那么不与端点比较, 也可以知道
2、这就是最大(小)值.,如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.,1.函数的单调性,三、知识要点,(1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f(x)0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)0, 则 y=f(x) 为减函数,(2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)0 (或 f(x)0).,注 当 f (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时, f(x) 在这个
3、区间上仍旧是单调递增(或递减)的.,例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.,极大值与极小值统称为极值.,是函数 f(x) 的一个极小值, 记作: y极小值=f(x0),如果对 x0附近的所有点, 都有 f(x)f(x0), 就说 f(x0),2.函数极值的定义,设函数 f(x) 在点 x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有点, 都有 f(x)f(x0),我们就说 f(x0) 是函数 f(x) 的一个极大值, 记作:,y极大值=f(x0);,3.判断 f(x0) 是极值的方法,(1)
4、如果在 x0 附近的左侧 f(x)0, 右侧 f(x)0, 那么 f(x0) 是 极大值 ;,(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0, 那么 f(x0) 是 极小值 .,一般地, 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时,4.求可导函数 f(x) 的极值的步骤:,(1)确定函数的定义域;,(3)求方程 f(x)=0 的根;,5.函数的最大值与最小值,在闭区间 a, b 上连续的函数 f(x) 在 a, b 上必有最大值与最小值.,但在开区间 (a, b) 内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值, 例如 f(x)=x, x(-1, 1).,6.设函数 f(x) 在 a, b 上连续,
5、在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 a, b上的最大值与最小值的步骤如下:,(1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值;,(2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.,(2)求导数 f(x);,(4)检查 f(x) 在方程 f(x)=0 的根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么 f(x) 在这个根处取得极小值.,典型例题 1,已知 aR, 求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.,解: 函数 f(x) 的导数 f(x)=2xeax+ax2eax,=(2x+
6、ax2)eax.,(1)当 a=0 时, 由 f(x)0 得 x0.,f(x) 的单调递减区间为 (-, 0), 单调递增区间为 (0, +),典型例题 2,已知 a 为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f(x); (2)若 f(-1) =0, 求 f(x) 在 -2, 2 上的最大值和最小值; (3)若 f(x) 在 (-, -2和 2, +) 上都是递增的, 求 a 的取值范围.,解: (1)由已知 f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.,f(x)=3x2-x-4.,(3) f(x) 的图象为开口向上的抛物线且过点 (0, -4),由题
7、设得 f(-2)0 且 f(2)0 .,8+4a0 且 8-4a0.,-2a2.,故 a 的取值范围是 -2, 2.,典型例题 3,解: (1)函数 f(x) 的定义域为 (-1, +).,令 f(x)=0 得 x=0.,当 -10;,当 x0 时, f(x)0.,又 f(0)=0,故当且仅当 x=0 时, f(x) 取得最大值, 最大值为 0.,(2)由题设 g(x)=lnx+1.,当 0xa 时, F(x)0, F(x) 在(0, a) 内为减函数;,当 xa 时, F(x)0, F(x) 在(a, +) 上为增函数.,从而当 x=a 时, F(x) 取极小值 F(a)=0.,ba, F(
8、b)0.,又设 G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则 G(x)= lnx-ln(a+x).,当 x0 时, G(x)0,G(x) 在(0, +) 上为减函数.,而 ba, G(a)=0, G(b)0.,F(b)(b-a)ln2.,典型例题 4,设 t0, 点 P(t, 0) 是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a, b, c; (2)若函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减, 求 t 的取值范围.,解: (1)函数 f(x) 的图象过点 P(t, 0), f(t)=0t
9、3+at=0.,t0, a=-t2.,又函数 g(x) 的图象也过点 P(t, 0), g(t)=0bt2+c=0.,c=ab.,两函数的图象在点 P 处有相同的切线, f(t)=g(t).,而 f(x)=3x2+a, g(x)=2bx,3t2+a=2bt.,将 a=-t2 代入上式得 b=t.,c=ab=-t3.,综上所述, a=-t2, b=t, c=-t3.,(2)方法一,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).,当 y=(3x+t)(x-t)0 时, y=f(x)-g(x)为减函数.,函数 y=f(x)-g(x) 在(-1
10、, 3) 上单调递减,t3 或 t-9.,t 的取值范围是 (-, -93, +).,(2)方法二,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=(3x+t)(x-t).,函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,y=(3x+t)(x-t)0 对于 x(-1, 3) 恒成立.,则 y|x=-10 且 y|x=30.,即 (-3+t)(-1-t)0 且 (9+t)(3-t)0.,解得 t3 或 t-9.,t 的取值范围是 (-, -93, +).,典型例题 5,已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a0) 是
11、R 上的奇函数, 当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2. (1)求 f(x) 的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,(1)解:函数 f(x) 是 R 上的奇函数,f(-x)=-f(x), 即 -ax3-cx+d=-ax3-cx-d 对 xR 恒成立.,d=0.,f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.,当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2,f(1)=-2 且 f(1)=0.,a+c=-2 且 3a+c=0.,a=1, c=-3.,f(x)=3x2-3.,由 f(x)0 得 -1x1;,由 f(
12、x)0 得 x1.,f(x) 在 (-, -1) 上是增函数, 在 (-1, 1) 上是减函数, 在,(1, +) 上是增函数.,当 x=-1 时, f(x) 取得极大值 f(-1)=2.,故函数 f(x) 的单调递减区间是 (-1, 1), 单调递增区间是,(-, -1) 和(1, +);,f(x) 的极大值为 2.,典型例题 5,已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a0) 是 R 上的奇函数, 当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2. (1)求 f(x) 的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,(2)证
13、: 由 (1) 知 f(x)=x3-3x 在 -1, 1 上是减函数,且 f(x) 在 -1, 1 上的最大值 M=f(-1)=2,f(x) 在 -1, 1 上的最小值 m=f(1)=-2,对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,典型例题 6,若二次函数 f(x) 满足: 在 x=1 处有极值; 图象过点 (0, -3), 且在该点处的切线与直线 2x+y=0 平行. (1)求 f(x) 的解析式; (2)求函数 g(x)=f(xex), x0, 1 的值域.,解: (1)由已知可设 f(x)=ax2+bx+c(a0),函数 f(x) 的图象过点 (
14、0, -3),f(x)=x2-2x-3.,f(0)=-3.,f(x) 在 x=1 处有极值,c=-3.,则 f(x)=2ax+b.,f(1)=0.,2a+b=0., f(x) 的图象在点 (0, -3) 处的切线与直线 2x+y=0 平行,f(0)=-2.,b=-2.,a=1.,(2)设 u=xex,则 u=ex+xex.,x0, 1 时, u0,u(x) 是 0, 1 上的增函数.,0ue.,f(u)=(u-1)2-4,g(x) 在 0, 1 上的值域是,-4, e2-2e-3.,(3)设 P(x1, y1), Q(x2, y2) 为曲线 y=f(ex) 上任两点, 不妨 x1x2.,解得
15、a0.,x1-x20,f(x)=2x-2,故 a 的取值范围是 (-, 0).,解: (1)由已知 f(x)=3ax2+2bx-3, 依题意得,f(-1)=f(1)=0.,解得 a=1, b=0.,3a-2b-3=0 且 3a+2b-3=0.,f(x)=3x2-3.,由 f(x)0 得 -1x1;,课后练习 1,已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=1 处取得极值. (1)讨论 f(1) 和 f(-1) 是函数 f(x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y=f(x) 的切线, 求此切线方程.,(2)由(1)知 f(x)=x3-3x.,由 f(x)0 得 x1.,f(x) 在 (-, -1) 上是增函数, 在 (-1, 1) 上是减函数, 在,(1, +) 上是增函数.,f(-1)=2 是极大值, f(1)=-2 是极小值.,点 A(0, 16) 不在曲线上.,设切点为 M(x0, y0), 则 y0=x03-3x0.,f(x0)=3x02-3.,切线方程为 y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).,点 A(0, 16) 在切线上,16-(x03-3x0)=(3x02-3)(-x0).,化简得 x03=-8
