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1、第三节 等比数列,1如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(q0) 2如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，且G (ab0) 3等比数列的通项公式为an .,二,比,公比,q,等比中项,a1qn1,4等比数列的前n项和公式为 5对于正整数m，n，p，q，若mnpq，则等比数列中am，an，ap，aq的关系为 . 6若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S(m1)kSmk，成等比数列(k1且kN*),amanapaq,答案：D,2设a12，数列12an是公比为2的等比数列
2、，则a6 ( ) A31.5 B160 C79.5 D159.5 答案：C,3设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于 ( ) A34 B23 C12 D13 答案：A,4等比数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则a13a14a15_. 解析：S33，S6S36，S3nS3n3成等比数列，故a13a14a1532448. 答案：48,5(2009石家庄模拟)已知数列log2(an1)为等差数列，且a13，a25. ()求证：数列an1是等比数列； 解：()设log2(an1)log2(an11)d(n2)， dlog2(a21)log2(a11)log24lo
3、g221. log2(an1)n，an12n， an1是以2为首项，2为公比的等比数列,等比数列的基本运算 例1 已知数列an是等比数列，其中a71，且a4，a51，a6成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)数列an的前n项和记为Sn，证明Sn128(n1,2,3，),(1)解 设等比数列an的公比为q(qR)， 由a7a1q61，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1q4q2，a6a1q5q1. 因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62a52， 即q3q12q22，q1(q21)2(q21)，,拓展提升 转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法,已知等比数列an中，a
4、1a2a37，a1a2a38，求an. 解：设an的公比为q，由题意知,等比数列的判定与证明 例2 (2009全国卷)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 分析 本题第(1)问将an2Sn2Sn1代入可以得到an的递推式，再用bnan12an代入即证；第(2)问将bn的通项公式代入bnan12an，可得an的递推式，再依照题型模式求解即可,解 (1)由已知得a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13. 又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an， 于是an22an12
5、(an12an)，即bn12bn. 因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列 (2)由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，,拓展提升 求解等差、等比数列的通项公式是高考的常考题型但是，作为以“能力立意”为命题思路的高考试题，往往会在试题的命制上对考生的思维能力提出更高的要求本题的命题构思非常简捷，给出数列an的初始值a11和一个递推关系式Sn14an2，由此可以探究数列an的通项公式，但思维的跨度较大，且考查形式单一于是，命题人设计了一个过渡关系式bnan12an，由此可以考查等比数列,数列an中，a12，a23，且anan1是以3为公比的等比数列，记bna2n1a2n(nN*) (1)
6、求a3，a4，a5，a6的值； (2)求证：bn是等比数列 解：(1)anan1是公比为3的等比数列， anan1a1a23n123n，,(2)anan1是公比为3的等比数列， anan13an1an，即an13an1， a1，a3，a5，a2n1，与a2，a4，a6，a2n，都是公比为3的等比数列 a2n123n1，a2n33n1， bna2n1a2n53n1， 故bn是以5为首项，3为公比的等比数列,等比数列的性质及应用,解 (1)a7a11a4a14，a4，a14是方程t25t60的两根，t2或t3，即a42，a143或a43，a142， (2)利用等比数列性质(S2mSm)2Sm(S3
7、mS2m) an是等比数列，(S2mSm)2Sm(S3mS2m)，即20210(S3m30)得S3m70.,(3)a3a6a9a99是数列an的前99项中的一组，还有另外两组，它们之间存在着必然的联系 设b1a1a4a7a97， b2a2a5a8a98， b3a3a6a9a99， 则b1qb2，b2qb3且b1b2b356， b1(1qq2)56，即b1 8， b3b1q232. 答案 (1)C (2)70 (3)32,在等比数列an中，若a1a2a3a102，a11a12a13a3012，求a41a42a43a60的值 解：在等比数列an中，S10，S20S10，S30S20，S40S30，
8、S50S40，S60S50也成等比数列，设公比为q，则 S20S102q，S30S202q2， 二式相加得 S30S102q2q212q2q60q3或q2. 当q3时，S50S402q4162，S60S502q5486，,a41a42a43a60S60S40162486324. 当q2时，S50S4032，S60S5064， a41a42a43a6096. 原式324或96.,等比数列与等差数列的综合应用 例4 如果有穷数列a1，a2，am(m为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(i1,2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2
9、,4,8都是“对称数列” (1)设bn是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b12，b411，依次写出bn的每一项； (2)设cn是49项的“对称数列”，其中c25，c26，c49是首项为1，公比为2的等比数列求cn各项的和S；,(3)设dn是100项的“对称数列”，其中d51，d52，d100是首项为2，公差为3的等差数列，求dn前n项和Sn(n1,2，100) 解 (1)设数列bn前四项的公差为d， 则b4b13d23d11，解得d3， 数列bn为2,5,8,11,8,5,2. (2)Sc1c2c492(c25c26c49)c25 2(1222224)12(2251
10、)1 226367108861.,拓展提升 准确理解题目中给出的信息，并转化为已掌握的知识是解此类题的关键,已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列 (1)求q的值； (2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由 解：(1)a1，a3，a2成等差数列， a1a22a3，即a1a1q2a1q2， 亦即2q2q10，解得q 或q1.,若2n9，则Snbn；若n10，则Snbn； 若n11，则Snbn.,4求解等比数列有关问题的常见思想方法有： (1)方程的思想等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，通常可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q； (2)分类讨论的思想当等比数列的公比没有说明不等于1时，求Sn必须讨论另外，通过对首项和公比的讨论，还会知道等比数列的类型等 (3)两种数列的本质区别是“差”与“比”，学会用“类比”的方法理解掌握它们的定义和性质，并能灵活应用解决有关数列问题,
