小结与复习,第四章 图形的相似,,,如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ,n .那么两条线段的比 .,四条线段a , b , c , d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段a , b , c , d叫做成比例线段，简称比例线段.,,要点梳理,比例的基本性质─,比例的合比性质─,比例的等比性质─,比例的更比性质—,那么称线段AB被点C,点C叫做线段AB的,AC与AB（或BC与AC）的比叫做,黄金比,≈0.618,黄金分割,黄金分割点,黄金比,1.定义： 三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形.,2.判定定理： （1）两角相等的两个三角形相似 （2）三边对应成比例的两个三角形相似 （3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,3.性质： （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的 比都等于相似比,★相似三角形周长的比等于 相似比 ★相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ★相似多边形的周长比等于 相似比 ★相似多边形面积的比等于 相似比的平方,（1） 测高,测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.,（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）,（不能直接测量的两点间的距离）,测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.,（2） 测距,例如用相似测物体的高度,测山高,测楼高,测内孔直径,求最大值与最小值,C,如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形.,★这个点叫做位似中心.,★这两个相似图形的相似比又称为位似比.,★位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.,3.体会位似图形何时为正像何时为倒像.,2.如何作位似图形(缩小).,1.如何作位似图形(放大).,,,,,,,,,考点讲练,例1 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是( ) A．3 cm, 6 cm, 7 cm ，9 cm B．2 cm, 5 cm , 0.6 dm, 8 cm C．3 cm, 9 cm, 1.8 dm, 6 cm D．1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm,解析：根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析． A. 故不是成比例线段； B．0.6 dm＝6 cm， 故不是成比例线段； C．1.8 dm＝18 cm，从小到大排序为3 cm，6 cm ， 9 cm，18 cm， 故是成比例线段； D. 故不是成比例线段．,C,(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同，若 长度单位不同，应先统一单位再判断； (2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段按长 短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比等于 两条较长的线段的比，则是成比例线段，否则不是．,1.四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm， d=6cm，则 a=,2.四个正数a、b、c、d能构成比例式，其中b=3,c=2,d=6，则a= .,3.若,则,1,4或9或1,4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长为 .,例2 如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，求AC的长．,解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴ 又∵AD=3，DB=6，AE=2， ∴ 解得EC=4． ∴AC=AE+EC=6.,5．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， ， DE=6，则EF= ___ ．,6.如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5cm，则线段BF的长为_________cm．,9,10,例3 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长.,解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°． ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．,（2）作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴AM＝CM＝3， ∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. 在Rt△BDM中， . 由（1）△ABD∽△CED得，,M,7.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE.,A,B,C,D,E,3,1,解：∵ DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴S△ABC : S△ADE = ∵AD : BD = 1：3, ∴AD : AB = 1：4. ∴S△ADE=27.,8.如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的比.,A,B,C,D,E,F,,,解：矩形ADFE与矩形ABCD 相似,,9.如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？,,由题意得,解：设留下矩形的面积为 x cm2，,解得 x =27 cm2.,答：留下矩形的面积为 27 cm2.,10.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40，AD=30．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M． （1）求证： ； （2）求这个矩形EFGH的周长．,(1)证明：∵矩形EFGH, ∴EF∥GH. ∴,解：(2)设矩形的宽HE = x,则MD = HE = x ∵AD = 30， ∴AM = 30 – x . ∵HG = 2HE, ∴HG = 2x . ∵ ∴ ∴x = 12. ∴HE = 12, HG = 24. ∴矩形EFGH的周长=2（HE + HG）=2（12+24）= 72.,例4 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使 自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度 恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m， CE＝0.8 m，CA＝30 m（点A、E、C在同一直线上）．,已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1 m）．,解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H， 则EH＝AG＝CD＝1.2 m， DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m． 因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB， 所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD， 所以△BDG∽△FDH．,所以,由题意，知 FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． 解得BG＝18.75（m）． ∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0（m）． ∴楼高AB约为20.0 m．,11. 在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为__________m.,【解析】设A，B两地间的实际距离为x cm,则 即x=900,又900 cm=9 m. 答案：9,9,12. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？,解：,∠ABO=∠CDO=90°,∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,∴ CD=5.4m,答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方．,例5 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．,,A,B,C,解： A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），,4,－ 4,－ 10,8,－4,10,A“ （ ， ），B“ （ ， ），C“ （ ， ）.,4,－ 4,－ 8,10,－10,4,A',B ',C ',,A“,B“,C“,,13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网 格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是 以点P为位似中心的位似 图形，它们的顶点均在格 点(网格线的交点)上，则 点P的坐标为( ) A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2),C,14．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___________________．,,(1，0)或(－5，－2),O,x,课堂小结,图形的相似,比例线段,相似三角形,相似多边形,位似,比例的基本性质,比例线段,平行线分线段成比例,,,,判定,性质,,应用,。