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1、1,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,2,1 简谐振动 2 简谐振动的合成 3 阻尼振动与受迫振动简介,第6章 机械振动基础,3,机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动 物理量：,等等,4,重要的振动形式是 简谐振动(S.H.V.) simple harmonic vibration,物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上： 付氏级数 付氏积分 也可以说 S.H.V.是振动的基本模型 或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质,5,1 简谐振动,基本概念,1. 平衡位置 质
2、点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力） 等于零，该位置即为平衡位置。,2. 线性回复力 若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移 （线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则 此作用力称作线性回复力。,3. 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。,6,6.1.1.简谐振动 以弹簧谐振子为例,设弹簧原长为坐标原点,由牛顿第二定律,令,简谐振动,整理得,7,弹簧振子作简谐振动的动力学方程,总结：,如质点运动的动力学方程可归结为： 的形式，且其中 决定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。,方程 的解为：,（1）,（1）式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期
3、函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。,8,简谐振动的运动学方程,则速度和加速度分别为,9,6.1.2、简谐振动的振幅、周期、频率和相位,表征了系统的能量,位移,振幅,最大位移,由初始条件决定,1.运动学表达式,广义：振动的物理量,弹簧谐振子,特征量：,10,位相 周相,系统的周期性 固有的性质 称固有频率,圆频率,相位,初相位,角频率,取决于时间零点的选择,初位相,11,简谐振动的描述,1.解析描述,12,均是作谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,超前 落后,13,2.曲线描述,14,1）谐振动运动学方程,从对象的运动规律出发 （电学规律 力学规律等）,S.H.V.的标准形式,
4、2）动力学方程,S. H. V. 的判据,15,6.1.3 振幅和初相的确定,决定简谐振动的具体形式 需知外力条件，还需知道初始条件，即t0时的 位移 和速度 。,设,书中例题6.1，6.2，6.4 （197页）,16,练习题： 弹簧振子的振动表达式用余弦函数表示。若t0时物体的运动状态分别为（1） （2）过平衡位置向x正方向运动；（3） 且向x负方向运动。试用相量图法分别确定相应的初相。,解：设振动表达式为,则,同理,相量图分别为：,17,6.1.4 简谐振动的能量 如 弹簧谐振子,系统机械能守恒 以弹簧原长为势能零点,18,1) 普适,2) 时间平均值,3) 由简谐振动能量求振动,例题6.
5、5（203页） （理解）,19,练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初 势能分别为 振动时，请回答： （1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？,练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初 势能分别为 振动时，请回答： （1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？,20,6.1.5.旋转矢量表示法,用匀速圆周运动 几何地描述 S H V,规定,端点在x轴上的投影式,逆时针转,以角速度,21,1） 直观地表达振动状态,当振动系统确定了振幅以后 表述振动的关键就是相位 即
6、表达式中的余弦函数的综量,而旋转矢量图 可直观地显示该综量,分析解析式,可知,用图代替了文字的叙述,22,如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 在正的端点,旋矢与轴夹角为零,质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,23,质点过平衡位置向负方向运动,同样, 0,注意到：,24,向正方向运动,或,或,25,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,称两振动同相,2） 方便地比较振动步调,位移与加速度,称两振动反相,若,26,2 简谐振动的合成 一、同方向同频率谐振动的合成 二、同方向不同频率谐振动的合成 拍 三、 两个垂直方向谐振动的合成 利萨如图形 四、谐振分析,27,当一个物体同时参与几个
7、谐振动时 就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 可以给出重要的实际应用,28,6.2.1、振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成,结果： 仍是谐振动 振动频率仍是,振动的振幅,（双光束干涉的理论基础）,29,若,反相 合振动减弱,同相 合振动加强,特殊结果：,若,若,两振动同相 两振动反相,可能的最强振动 “振动加振动”不振动,30,6.2.2、 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 拍 分振动：,线性相加：,结论： 合成已不再是谐振动 但考
8、虑到 1 2 可以用 谐振动表达式等效 加深认识,31,分析：,则,较,随时间变化缓慢,将合成式写成谐振动形式,32,合振动可看做是振幅缓变的谐振动 合成振动如图示,表达式为,33,拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,测未知频率的一种方法,由式,得,34,6.2.3、两个垂直方向谐振动的合成 1. 同频率的谐振动合成,线性相加：,轨迹方程是椭圆,即 合成的一般结果是椭圆,35,不同 椭圆形状、旋向也不同,36,2.频率比是简单的正整数,合成轨迹为稳定的闭合曲线利萨如图,例如左图：,应用：测定未知频率,37,四、谐振分析,利用付里叶分解 可将任意振动
9、分解成若干SHV的叠加(合成的逆运算）,对周期性振动：,T 周期,k = 1 基频（）,k = 2 二次谐频（2）,k = 3 三次谐频（3）,决定音调,决定音色,高次谐频,38,(简谐振动）,振动的形式:,39,3 阻尼振动与受迫振动 一、 阻尼振动 二、受迫振动 三、共振,40,一、 阻尼振动 1.阻尼振动 系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数 叫阻力系数 关系式为:,41,令,称阻尼因子,系统固有频率,2.阻尼振动的动力学方程,由牛顿第二定律有,整理得,式中,42,如果无阻尼,是谐振动的形式,存在阻尼,仍振动但能量会衰减,如果
10、能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 从物理上考虑：,阻尼振动方程为,3.振动表达式,43,所以 解的形式必定是 在谐振动的基础上乘上一衰减因子 即形式为：,可以证明：,44,45,二 、受迫振动 1.受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化 即,由牛顿第二定律有,46,整理得,其中,固有频率,阻尼因子,47,3.稳定状态的振动表达式 受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振动 其表达式为：,用旋矢法可求出上式的A和,48,49,画任意时刻旋矢图,由旋矢图可知：,得,位移与驱动力的相位差,50,在弱阻尼即 0的情况下,系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振,当 = 0时,三、共振,共振现象 普遍 有利有弊,160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 1940年 美国 桥 大风 流速,51,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,52,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁,53,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,第6章结束,作业：6.4，6.13，6.19,
