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1、,例：在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%）进行重复测定，得到90个测定值如下：,1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.62 1.57 1.60 1.59 1.64 1.74 1.65 1.64 1.61 1.65 1.69 1.64 1.63 1.65 1.70 1.63 1.62 1.70 1.65 1.68 1.66 1.69 1.70 1.70 1.63 1.67 1.70 1.70 1.63 1.57 1.59 1.62 1.60 1.53 1.56 1.58 1.60 1.58 1.59 1.61 1.62 1.55 1.52 1.49 1.5
2、6 1.57 1.61 1.61 1.61 1.50 1.53 1.53 1.59 1.66 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.65 1.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.61 1.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.69,第二节 随机误差的正态分布,一、频率分布 绘制频率分布直方图的步骤： 1、测定值排序，算出极差R 2、确定组数、组距: 组距=极差/组数 组值范围：将组界值较测定值多取一位（以保证 每个数据只能进入某一组内。） 3、
3、统计频数：测定值落在每组内的个数叫频数。 算出频率：频率(相对频数）=频数/样本容量 频率密度=频率/组距 4、将组值范围、频数和频率列表，绘频数分布直方图,分组（%） 频数 频率 1.485-1.515 2 0.022 1.515-1.545 6 0.067 1.545-1.575 6 0.067 1.575-1.605 17 0.189 1.605-1.635 22 0.244 1.635-1.665 20 0.222 1.665-1.695 10 0.111 1.695-1.725 6 0.067 1.725-1.755 1 0.011 90 1.00,频率分布直方图,结论：测定数据既有
4、分散性; 又有集中性.,问题： 测量次数趋近于无穷大时的频率分布？ 测量次数少时的频率分布？ 某段频率分布曲线下的面积具有什么意义？,二、测量值与随机误差的正态分布,测量值正态分布N (, 2) 的概率密度函数,1=0.047,2=0.023, x,y 概率密度,x 个别测量值, 总体平均值，表示无限次测量值集中的趋势。, 总体标准偏差，表示无限次测量分散的程度。,x- 随机误差,随机误差的正态分布,测量值的正态分布,0 x-,总体标准偏差 相同，总体平均值不同,总体平均值相同，总体标准偏差不同,原因：,1、总体不同,2、同一总体，存在系统误差,原因：,同一总体，精密度不同,正态分布曲线特点：
5、,1、小误差出现的概率大，大误差出现的概率小；特别大的误差出现的概率极小。 2、正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。 3、x=时，y 值最大，体现了测量值的集中趋势。集中的程度与 有关。,结论：增加平行测量次数可有效减小随机误差。,x,三、标准正态分布曲线 N (0,1),令：,正态分布函数转换成标准正态分布函数：,四、随机误差的区间概率,区间概率P用一定区间的积分面积表示该范围内测量值出现的 概率.从，所有测量值出现的总概率P为1,出现特别大误差的概率是很小的。 误差界限,例：,（1）解,查表：u=1.5 时，概率为：2 0.4332 = 0.866 = 86.6%,（2）解,查表：u
6、2.5 时，概率为： 0.5 0.4938 = 0.0062 =0.62%,一样品，标准值为1.75%，测得 = 0.10, 求结果落在（1）1.750.15% 概率；（2）测量值大于2%的概率。,86.6%,P,频数直方图 （n为有限次）,正态分布,标准正态分布,纵坐标,频数,横坐标,测量值 （以组距 为单位）,概率密度,测量值,概率密度,u,随机误差的正态分布曲线,概率密度,N(0,1),根据U求区间概率、 测定值出现的区间,一、t 分布曲线,无限次测量，得到,有限次测量，得到,s,t 分布曲线,u 分布曲线,第三节 有限数据的统计处理,正态分布与 t 分布区别,1正态分布描述无限次测量数
7、据 t 分布描述有限次测量数据 2正态分布横坐标为 u ，t 分布横坐标为 t,3两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P 正态分布：P 随u 变化；u 一定，P一定 t 分布：P 随 t 和f 变化；t 一定，概率P与f 有关，,为总体均值 为总体标准差 S为有限次测定值的标准差,f=n-1,两个重要概念,置信度(置信水平)P：某一 t值时，测量值出现在ts范围 内的概率,显著性水平：落在此范围之外的概率 =1-P,tp,f,t0.95,10 表示置信度为95%、自由度为10的t值 t0.90,4 表示置信度为90%、自由度为4的t值,t 分布值表,二、平均值的置信区间,置信区间：一定
8、置信度下，以测量结果为中心，包括总体均值 的可信范围。 平均值的置信区间：一定置信度下，以测量结果的均值为中心， 包括总体均值的可信范围。 置信限：置信区间的界限。,置信区间范围越小，测定准确度越高,（1）由单次测量结果估计的置信区间 （2）由多次测量的样本平均值估计的置信区间 （3）由少量测定结果均值估计的置信区间, = xu,例: 分析铁矿石中w(Fe)的结果: n = 4, x = 35.21 %, = 0.06 % 求: 的95%置信区间。,解: 的置信区间为,解:,结果表明置信度高则置信区间大.,三、 显著性检验,（1）对含量真值为T 的某物质进行分析，得到平均值,（2）用两种不同的
9、方法、或两台不同的仪器、或两个不同的实验 室对同一样品进行分析，得到平均值,问题：是由随机误差引起，或存在系统误差？,显著性差异,非显著性差异,校正,正常,显著性检验,但,但,1.平均值与标准值的比较,t 检验法,假设不存在系统误差，那么,是由随机误差引起的，测量误差应满足t分布，,根据 计算出的t 值应落在指定的概率区间里。否则，假设不满足，表明存在着显著性差异。,t 检验法的方法,(1)根据 算出t值;,(2)给出显著性水平或置信度,(3)将计算出的t值与表上查得的 tp,f值进行比较，,习惯上说 表明有系统误差存在。,表示 落在 为中心的某一指定概率之外。在一次测定中，这样的几率是极小的
10、，故认为是不可能的，拒绝接受。,例:,某化验室测定CaO的质量分数为30.43%的某样品中CaO的含量，得如下结果：,问此测定有无系统误差？(给定 = 0.05),解:,查表,比较：,说明和T有显著差异，此测定有系统误差。,假设： = T,2、两组平均值的比较,两个实验室对同一标样进行分析，得到：,和,假设不存在系统误差，那么：,是由于随机误差引起的，应满足自由度 f =(n1 + n2 2） 的 t 分布，,两组平均值的比较的方法,1、F 检验法检验两组实验数据的精密度S1和S2之间有无显著差异,查表,精密度无显著差异。,2、t 检验确定两组平均值之间有无显著性差异,查表,比较,非显著差异，
11、无系统误差,例:用两种不同的方法测定合金中镍的质量分数()，所得的 结果如下： 第一法 1.26，1.25，1.22 第二法 1.35，1.31，1.33，1.34 试问两种方法之间是否有显著性差异(因属双边检验，P0.90)?,解：,置信度95%时部分F值（单边） 置信度90%时部分F值（双边）,四、可疑值的取舍,1. Q 检验法 Dixons Q-test,（1）将测量的数据按从小到大顺序排列,其中可疑数据可能是X1或Xn。,（2）计算Q值：,（3）由Q值表查Qp,n,若Xn为可疑值，,若X1为可疑值，,（4）判断: 若 Q计QP,n 则该可疑数据应舍弃； 若 Q计 QP,n 则该可疑数据
12、保留。,测定碱灰总碱量（Na2O %)得到6个数据，按其大小顺序排列为40.02，40.12，40.16，40.18，40.18，40.20。第一个数据可疑，判断是否应舍弃？（置性度为90%）。,解:,查表 n = 6 , Q表 = 0.56 舍弃,例：,2.格鲁布斯（Grubbs）法 1、将测定值由小到大按顺序排列：x1 、x2 、 xn -1 、xn, 其中可疑值为x1或xn。,若GGP,n，说明可疑值对平均值偏离较大，则以一定的置信度将其舍去。,2、计算该组数据的平均值,3、计算统计量G。,和标准偏差s。,小结,随机误差的分布规律：正态分布、 t分布 置信度与置信区间的含义，的置信区间的计算 显著性检验的含义和方法(t检验法、F法) 可疑值的取舍： Q检验法和格鲁布斯法等,
