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1、HUN-理科,数学,数学,数学,数学,对点集训,数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括,数学思想 方法较之数学知识具有更高的层次,具有理性的地位,它是一种数学 意识,属于思维和能力的范畴,它是数学知识的精髓,是知识转化为能 力的桥梁.,纵观近几年的高考试题,都加大了对数学思想方法的考查,把数学思,想方法的考查寓于各部分知识的考查之中,以知识为载体,着重考查 能力与方法题目很常见.预测2013年高考中,还会有较多的题目以数 学知识为背景,考查数学思想方法,对数学思想方法的考查不会削弱, 会更加鲜明,更加重视.,对点集训,【函数与方程的思想】,函数思想,就是运用运动和变化的观点,集合与对应的
2、思想,去分析和 研究数学问题中的等量关系,建立或构造函数关系,再运用函数的图 象和性质去分析问题,达到转化问题的目的,从而使问题获得解决的 思想.方程思想,就是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型方程或方程组,通过解方程或方程组,或,者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想.,对点集训,运用函数思想解决问题主要从下面四个方面着手:一是根据方程与 函数的密切关系,可将二元方程转化为函数来解决;二是根据不等式 与函数的密切关系,常将不等式问题转化为函数问题,利用函数的图 象和性质进行处理;三是在解决实际问题时,常涉及最值问题,通常是 通过建立目标函数,利用
3、求函数最值的方法加以解决;四是中学数学 中的某些数学模型(如数列的通项或前n项和)可转化为函数问题,利 用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决.,运用方程思想解决问题主要从以下四个方面着手:一是把问题中对 应的已知量与未知量建立相等关系,统一在方程中,通过解方程解决;,对点集训,(2012年上海)在平行四边形ABCD中,A= ,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足 = ,则 的取值范围是 .,二是从分析问题的结构入手,找出主要矛盾,抓住某一个关键变量,将 等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程,利用方程的特征解 决;三是根据几个变量间的关系,符合某
4、些方程的性质和特征(如利 用根与系数的关系构造方程等),通过研究方程所具有的性质和特征 解决;四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等),经常转化 为方程问题去解决.,热点一:构造函数性质解题,在解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等 问题时,常通过构造函数,借助有关初等函数的性质求解.,对点集训,【解析】(法一)如图,由已知AB=2,AD=1,A= 可得ADBD,又因 为 = 可得|CN|=2|BM|,若设|BM|=x(0x1),则|CN|=2x, =(1- x) , =x , =1,可知 =( + )( + )=( +x ) +(1-x) =1+x(1-x)+4(1
5、-x)+x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,在0x1时,为 减函数,所以2 5,答案为2,5.,(法二)由法一,可知如图建立平面直角坐标系xDy,对点集训,设|BM|=a(0a1),则|CN|=2a,|DN|=2(1-a),故A(0,1),C( ,-1),M( , -a), =( ,-a-1), = +(1-a) =(0,-1)+(1-a)( ,-1)=( - a,a-2),可 得 =-a2-2a+5=-(a+1)2+6,可得2 5.,【答案】2,5,【归纳拓展】本题将向量数量积转化为以x或a为变量的函数,然后 通过函数的值域求出取值范围.利用函数求最值时要注意自变量的 取值范围,如本题
6、中如果忽视0x或a1,将得出错误的范围.,对点集训,热点二:构造函数模型解题,在解决应用问题时,将变量间的等量关系转化为函数关系,通过建立 函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数问题, 达到化难为易,化繁为简的目的.,(2012年湖南)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要三种部件的数量分别为2,2,1(单位: 件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该 企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件 的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).,对点集训,(1)设生产A部件的人数为x
7、,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要 的时间;,(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订 单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.,【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天) 分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)= = ,T2(x)= ,T3(x)= ,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.,(2)完成订单任务的时间为f(x)=maxT1(x),T2(x),T3(x),其定义域为x| 0x ,xN*.,对点集训,易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.,注意到
8、T2(x)= T1(x),于是当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=maxT1(x),T3(x)=max , .,由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当 = 时f(x)取得最小值,解得x= .由于44 45,而f(44)=T1(44)= ,f(45)=T3(45)= ,f(44)f(45).故当x=44时完成订单任务的时间最短, 且最短时间为f(44)= .,当k2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k3,对点集训,此时 = .,记T(x)= ,(x)=maxT1(x),T(x),易知T(x)是增函数,则f(x)=maxT1(x),T3(x)maxT1(x),T(x)=
9、(x)=max , .,由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 = 时,(x)取最小值,解得x= .由于36 37,而(36)=T1(36)= ,(37)=T(37)= .此时完成订单任务的最短时间大于 .,对点集训,当k2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=maxT2(x),T3(x)=max , .,由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当 = 时f(x)取最小值,解得x= ,类似讨论,此时完成订单任务的最短时间为 ,大于 .,综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种 部件的人数分别为44,88,68.,【归纳拓展】本题为函数
10、的应用题,考查分段函数、函数单调性、,最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力. 其中根据题目变量关系,建立函数模型是解决本题的关键.,对点集训,热点三:函数、方程、不等式的转化,在解决函数、方程、不等式问题时,我们经常利用三者的联系进行 转化.若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转 化成函数,这时妙用函数的有关性质(值域、与坐标轴交点情形等) 就可解决问题;若将等量关系式看成关于某个未知量的方程,则利用 解方程或考虑根的情形可求得变量;若可将变量间的不等量关系式 看成关于某个未知量的不等式,则解这个不等式可求得这个变量的 取值范围.,对点集训,已知f(x)=
11、xln x,g(x)=-x2+ax-3,若对一切的x(0,+),2f(x) g(x)恒成立,则实数a的取值范围为 .,【解析】2xln x-x2+ax-3,则a2ln x+x+ ,设h(x)=2ln x+x+ (x0),则h(x)= ,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递减;,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)单调递增.,h(x)min=h(1)=4.,对点集训,对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,ah(x)min=4.,【答案】,【归纳拓展】本题将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,然,后通过导数判断单调性,求出最值.在多个字母变量的问题中,选准 “主元”往往是解题的
12、关键.一般地,在一个含有多个变量的数学问 题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化. 或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更 具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题.,对点集训,热点四:方程在解析几何中的应用,在解析几何中,我们经常将直线与圆、圆锥曲线的位置关系,转化为 对应的方程,从方程的角度来研究、分析问题.,(2012年广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.,(1)求椭圆C1的方程;,(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.,对点集训
13、,【解析】(1)由题意得 ,故所求的椭圆方程为 +y2=1.,(2)由题意可知切线的斜率一定存在,设直线l的方程为y=mx+n,由 y2=4 my2-4y+4n=0,由题意得(-4)2-4m4n=0mn=1, ,对点集训,又由 x2+2(mx+n)2=2,(1+2m2)x2+4mnx+2(n2-1)=0.,又由题意得(4mn)2-4(1+2m2)2(n2-1)=0n2=2m2+1, ,由、得 或,故直线l的方程为y= x+ 或y=- x- .,【归纳拓展】本题利用方程的曲线将曲线有切点的几何问题转化 为方程有实解的代数问题.一般地,当给出方程的解的情况求参数的,对点集训,范围时可以考虑应用“判
14、别式法”,其中特别要注意解的范围.,总结:,(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0;,(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y0时,就转化为 不等式f(x)0,借助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的 性质,也离不开解不等式;,(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点 处理数列问题十分重要;,对点集训,(4)函数f(x)=(1+x)n (nN*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函 数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;,(5
15、)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需 要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与二次函数的有关理 论;,(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列 方程或建立函数表达式的方法解决.,【化归与转化的思想】,转化与化归的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借,对点集训,助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转 化,进而达到解决问题的思想.等价转化有一些模式可以遵循,总是将 抽象转化为具体,化复杂为简单(高维向低维的转化,多元向一元的转 化,高次向低次的转化等)、化未知为已知.,化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的
16、数学问题 外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个 意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,是一步步转 化的过程.历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练 自觉的转化意识,这将有利于强化解决数学问题的应变能力,提高思 维能力和技能.,对点集训,热点一:一般问题与特殊问题的化归,“特殊”问题往往比“一般”问题显得简单、直观和具体,容易解 决,并且在特殊问题的解决过程中,常常孕育着一般问题的解决方法. 有些数学问题,由于其特殊数量或位置关系,孤立地考察问题本身,造 成我们只见“树木”不见“森林”,难以解决.因此解题时,我们常常 将一般问题与特殊问题进行转化.,(1)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于 ( ),对点集训,(A)2n-1. (B
