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1、计算流体力学讲义2011 第六讲 差分方法（4） 李新亮 ；力学所主楼219； 82543801,知识点： 通量技术简介Roe 常用的隐式处理方法LU-SGS,1,Copyright by Li Xinliang,讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 下载地址2： http:/cid- by Li Xinliang,2,知识回顾： 单调、保单调和TVD,概念： 网格Reynolds数 单调格式、保单调格式及TVD格式 Harten定理： 正系数原则,TVD,保单调,单调,TVD格式= 1阶迎风+ j *（修正项）,二阶精度区,TVD区,二阶精度TVD
2、区（二者交集）,Copyright by Li Xinliang,3,知识回顾：WENO格式,基本思路,j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2,j-3,j-2,j-1,j； j-2,j-1,j,j+1； j-1,j,j+1,j+2,五个基架点被分成三个组,1） 若高精度逼近 ， 必然利用多个基架点 2） 如果该基架点内函数有间断，会导致振荡 3） 间断不可能处处存在 4） 把基架点分成多个组（模板）， 每个模板独立计算j点导数的逼近。 得到多个差分 5）根据每个模板的光滑程度，设定权重 6） 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越高，权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋于0； 如果都光
3、滑，则组合成更高阶格式。,Copyright by Li Xinliang,4,1. 单方程的Roe格式,线性化，用平均变化率代替(j,j+1)之间的变化率a(u),“平均斜率”，不等于“斜率的平均值”，也不等于中点处的斜率, 6.1 Roe格式,非线性情况,根据Langrage中值定理，uL,uR之间必有一点uRoe, 该点处的斜率为平均斜率; 二次函数f(u)=u2中点处的斜率=平均斜率,Copyright by Li Xinliang,5,2. 方程组的情况,平均斜率,线性化，以平均增长率代替瞬时增长率,j,j+1区间内,连续，且 可通过相似变换对角化,应当具有的性质,常系数方程的Rie
4、mann解,Copyright by Li Xinliang,6,平均斜率,x,j+1/2,常系数单波方程的Riemann解,Roe 格式： 微分型近似Riemann解,Copyright by Li Xinliang,7,3. 矩阵 的构造,关键：,“向量除以向量” ？,直接求平均增长率：,u,f(u),uL,uR,uRoe,Roe点的斜率为平均斜率 （根据拉格朗日中值定理，UL,UR区间内肯定存在Roe点）,思路1： 在UL与UR之间寻找一个点URoe, 该点处的增长率为平均增长率,f(u)=u2,u,二次函数 Roe点与中点重合,标量函数的启示： Roe点肯定存在（Langrage 中值
5、定理） 二次函数的中点即为Roe点,思路2： 进行坐标变换，得到一个二次（齐）函数,引入,如果 是二次（齐）函数，则其中点 即为Roe点,重要启示,更准确地讲，应当是要求 为W的线性函数， 即增长率为线性函数 （中点处的增长率刚好为平均增长率）,Copyright by Li Xinliang,8,针对Euler方程的具体构造,引入新变量：,则：,目的： 使得F(w)是W二次齐函数 （增长率为线性函数）,f(U)不是U的二次齐函数,二次齐函数！,中点处的斜率即为平均斜率。,Roe点,Roe点为：,增长率为线性函数！,Copyright by Li Xinliang,9,最终：,其中 如下计算：
6、,平均增长率（矩阵）,含义： 左、右两个状态点的某种平均 （称为Roe平均，为密度加权平均） 该状态点对应的增长率（矩阵）为平均增长率（矩阵） 实际上是一种“等效平均”。 效果优于简单的算数（或几何）平均。,三维情况下，还有,其他量（如压力、温度、音速等）用这三个量计算,（5）,简单易记：,Copyright by Li Xinliang,10,Roe 格式的计算步骤 （半离散）,已知n时刻所有网格点上的物理量，对于j点： 1） 利用差分格式计算UR,UL 2） 采用Roe平均公式（5）计算Roe平均值 3） 将Jacobian矩阵 进行特征分解: 计算 4) 计算 5）计算 6） 计算空间导
7、数 7）时间推进，计算下一时间步的值。,j-1 j j+1,与前文（第3，4讲）的形式相同，仅需把式中的密度、压力、速度等换成经过Roe平均的密度、压力、速度即可,其中：,Copyright by Li Xinliang,11,可能出现导数不连续， 可能引起数值振荡,实际使用时 可用如下函数代替 所谓“熵修正”,实际上是在特征值0点周围增加了耗散,Roe 格式的优点： 1） 保持守恒性的同时，严格保证了特征方向 2） 便于推广到高精度格式 特征投影分裂中使用Roe平均即可 （见本PPT 第5页）。推广到高阶后，虽不再保证严格的特征方向， 但仍优于采用算数平均方法。 Roe 格式的不足： 本身精
8、度只有一阶； 推广到高阶后，特征方向无法严格保证 ； 推广到二维或三维后，特征方向无法严格保证，出现振荡。,Copyright by Li Xinliang,12,关于 f(U) 与 f(W),深入讨论,新变量,虽然是“一次齐函数”但有变量在分母上,干净的二次齐函数,自变量W的线性函数！,实质区别： 是自变量 的线性函数， 而 是自变量 的非线性函数！,自变量U的非线性函数,使用U做自变量的优点： 物理意义鲜明 （质量密度、动量密度和能量密度），守恒性好 使用W做自变量的优点： Jocabian矩阵为线性矩阵 思考： 如果在CFD计算中，使用W替换U做自变量会怎样？,4 阶,3 阶 （TVD型
9、）,2阶,Copyright by Li Xinliang,13, 6.2 时间推进方法,1. 显格式,推荐方法： Runge-Kutta法,更高阶 ,Copyright by Li Xinliang,14,2. 隐格式算法简介 （以二维Euler方程为例）,1） 原理介绍,（1）,时间离散后,方案 A： 直接将（1）进行空间离散，得到 Un+1 的代数方程组 困难： 大型非线性方程组，求解困难,方案B: 设计一种迭代算法,令,两端同时添加显式项,右端项，已知,是已知项，可采用某种差分方法显式计算得到 （对算法无限制）,Copyright by Li Xinliang,15,(2),已知，（2
10、）为线性方程。,（1） (2) 是一个线性化过程,含义： 先用显格式计算，再用隐格式计算修正量,线性方程，离散求解,离散后为大型带状方程组，求解计算量大,LU-SGS,原理： 将矩阵分解为上、下三角阵，避免矩阵求逆运算,隐式问题显式化,未知量：,显式部分,隐式修正,若隐式修正为0，则为显格式,Copyright by Li Xinliang,16,2) LU-SGS 方法,a) 将矩阵A,B分裂,为了简化计算，通常采用L-F分裂,矩阵分裂,1阶迎风格式离散,整理,迭代收敛后，不影响精度,Copyright by Li Xinliang,17,其中：,特点： 严格对角占优，收敛性好 稳定性好,可采用局部时间步长等加速收敛措施,近似LU分解,do j=1,ny do i=1,nx Enddo Enddo,Copyright by Li Xinliang,18,具体求解方法,（1） 计算右端项,显式，可采用前面构造的各种方法计算,（2） 计算,（3） 计算,自变量采用n时刻的值,由于L矩阵的下三角特性，可采用推进方法显式计算,(4)计算,显式计算,（5）,时间推进1阶精度，空间精度由RHS的算法决定。 可用于定常及非定常问题； 非定常问题通常采用内迭代 （保证精度）,向上扫描,向下扫描,LU分解的对称Gauss-Seidel迭代算法,
