《高考数学导与练（理）-第八篇 平面解析几何-第3节 椭 圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学导与练（理）-第八篇 平面解析几何-第3节 椭 圆（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,2椭圆的几何性质2,3,4,5,6,7,8,11,12,13直线与椭圆的位置关系9,10,14基础对点练(时间:30分钟)1.已知椭圆x28+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF2|=2,则cosF1PF2等于(D)(A)34(B)23(C)12(D)13解析:|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=42,所以|PF1|=32,所以cosF1PF2=(32)2+(2)2-422322=13.故选D.2.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为(-2,0),离心率为12,则C的标准方程为(A)(
2、A)x216+y212=1 (B)x216+y24=1(C)x212+y28=1 (D)x216+y28=1解析:由题知c=2,e=ca=12,所以a=4,b2=16-4=12,椭圆C的标准方程为x216+y212=1.故选A.3.(2016福州三中模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作直线l垂直于x轴,交椭圆C于A,B两点,若F1AB为等腰直角三角形,且AF1B=90,则椭圆C的离心率为(A)(A)2-1(B)1-22(C)2-2(D)22解析:因为AF2x轴,所以A(c,b2a),2c=b2a,所以2ac=b2=a2-c2,所以2e=1-e2,得e
3、=2-1.故选A.4.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为(C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:设P(x,y),向量OP=(x,y),FP=(x+1,y),OPFP=x2+y2+x,又y2=12-3x24,代入得OPFP=14x2+x+3,所以当x=2时,有最大值6.故选C.5.(2016广西来宾高中模拟)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上,且直线PA2的斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是(A)(A)38,34(B)12,34(C)12,1(D)34,1解析:设P(x,
4、y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,则k1k2=yx+2yx-2=y2x2-4=3-34x2x2-4=-34,所以k1=-341k2,因为k2-2,-1,所以k138,34.故选A.6.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(B)(A)14(B)55(C)12(D)5-2解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,故(a-c)(a+c)=
5、(2c)2,可得ca=55=e(舍去负值).故应选B.7.直线y=-3x与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为(C)(A)32 (B)3-12(C)3-1(D)4-23解析:由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-3x,得AOF2=23,AOF1=3.所以|AF2|=3c,|AF1|=c.由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2a,所以c+3c=2a,所以e=ca=3-1.故选C.8.(2016陕西安康联考)椭圆mx2+y2=1(m1)的短轴长为22m,则m=.解析:由题意得21m=22
6、m,m=2.答案:29.已知椭圆C:x23+y2=1,斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=322,则直线l的方程为.解析:设直线方程为y=x+b,联立y=x+b,x23+y2=1,可得4x2+6bx+3b2-3=0,所以x1+x2=-6b4,x1x2=3b2-34,所以2(-64b)2-43b2-34=322,所以b=1,直线l为y=x1.答案:y=x110. 导学号 18702441如图所示,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,
7、且AF2=2F2B,求椭圆的方程.解:(1)因为|AF1|=|AF2|=a,且F1AF2=90,|F1F2|=2c,所以2a2=4c2,所以a=2c,所以e=ca=22.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由AF2=2F2B,解得x=32,y=-b2,代入x2a2+y2b2=1,得94a2+b24b2=1,即94a2+14=1,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.能力提升练(时间:15分钟)11.导学号 18702442已知五个数2,a,m,b,8构成一个等比数列,则圆锥曲线x2m+y22=1的离心率为(C)(A)22 (B)3(C)
8、22或3 (D)22或62解析:由题意得28=ab=m2,所以m=4,当m=-4时圆锥曲线表示双曲线,a2=2,b2=4,所以c2=6,所以e=3;当m=4时圆锥曲线表示椭圆,a2=4,b2=2,所以c2=2,所以e=22.故选C.12.椭圆x24+y23=1的离心率为e,点(1,e)是圆x2+y2-4x-4y+4=0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是(B)(A)3x+2y-4=0(B)4x+6y-7=0(C)3x-2y-2=0(D)4x-6y-1=0解析:依题意有e=12,中点为(1,12),圆心为(2,2),中点和圆心连线的斜率为32,所以弦所在直线的斜率为-23,直线方程为y-12=
9、-23(x-1).即4x+6y-7=0.故选B.13.(2016郑州一中考前冲刺)若P为椭圆x216+y215=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则PEPF的取值范围是.解析:因为PEPF=(NE-NP)(NF-NP)=NENF-NP(NE+NF)+NP2=|NE|NF|cos -0+|NP|2=-4+|NP|2.又因为椭圆x216+y215=1的a=4,b=15,c=1,N(1,0)为椭圆的右焦点.所以|NP|a-c,a+c=3,5,所以PEPF5,21.答案:5,2114.导学号 18702444已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,右焦点到
10、直线x+y+6=0的距离为23.(1)求椭圆的方程;(2)过点M(0,-1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,且满足NA=-75NB,求直线l的方程.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c0),则|c+6|2=23,c+6=26,c=6或c=-36(舍去).又离心率ca=32,则6a=32,故a=22,b=a2-c2=2,故椭圆的方程为x28+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为NA=-75NB,所以(x1-x0,y1)=-75(x2-x0,y2),y1=-75y2. 易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时,不成立,于是设直线l的方程为y=kx-
11、1(k0),联立方程y=kx-1,x2+4y2=8.消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0, 因为0,所以直线与椭圆相交,于是y1+y2=-24k2+1, y1y2=1-8k24k2+1, 由得,y2=54k2+1,y1=-74k2+1,代入整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=1,所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1.好题天天练1.导学号 18702446若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为(D)(A)0(B)至多有一个(C)1(D)2解析:因为直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,所以4m2+n22,即m2+n22,m24+n241,即m29+n240,即m(-2,2)且m0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,所以SAOB=12|m|x1-x2|=12|m|(x1+x2)2-4x1x2=|m|4-m2=m2(4-m2)m2+4-m22=2,当且仅当m2=4-m2,即m=2时,AOB的面积取得最大值,且最大值为2.
