《《垂线定理和逆定理》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《垂线定理和逆定理》ppt课件（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三垂线定理,线面垂直的判定定理,线线垂直,线面垂直,线面垂直的定义,复习：,什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面的垂线, A为垂足;,连结垂足与斜足，AO 是PO在平面内的射影.,性质定理,判定定理,性质定理,三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面 的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜 线垂直。,已知:如图,PO为平面的斜线, PA , a在平面内且垂直PO的射影AO. 求证:aPO,证明:,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当 b 时， bOA,如果将定理“在平面内”的条件去掉
2、，结论仍然成立吗？,但 b不垂直于OP,思考?,三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面 的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜 线垂直。,练习：判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面 内的射影，则ab。 ( ),2定理的关键找“平面的垂线”.,强调：1四线是对同一个平面而言.,(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线， 且b垂直于a在内的射影，则ab。 ( ),1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间的垂直关系.,2、a与PO可以相交，也可以异面.,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理.,说明：
3、,4 、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平 面内两直线的垂直问题.,例1、PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点, AOBD,例2、已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，求证：BCAM,证明:,例3、在正方体AC1中， 求证：A1CBC1 ， A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件,三垂线定理解题
4、的关键：找三垂！,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一垂、二射、三证。即,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的 一条直线与一条斜线。,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直, 线斜垂直,直 线 和 平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如
5、果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO 求证：a AO,三垂线定理的逆定理,例4、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC BD。,证明：过A作AO平面BCD于O，连结BO， AB是平面BCD的斜线， AO是AB在面BCD内的射影 ABCD， CDBO（三垂线逆定理）， 同理可得BCOD， 则O为BCD的垂心， BDOC， OC是AC的射影， BDAC（三垂线定理）。,O,三棱锥对棱垂直，顶点 在底面上的射影是底面 的垂心,直线与平面所成的角：,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面的垂线, A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,直线PO与射影AO所成的角POA即为 直线与平面所成的角。,直线与平面所成的角的范围： 0,90,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。,小 结,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线的射影垂直。,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”这个参照系,
