广西2009年10月试题

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1、1广西壮族自治区 2009 年 10 月高等教育自考考试(08749 号) 近世代数 试卷一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设集合 A=a,b,c ,B=0,1,则 A 到 B 的映射个数是( C )A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.9 个2.所有正整数集合 A 对于普通数的除法不作成群的原因是( D )A.乘法不适合结合律； B. 除法在 A 不适合交换律；C. 除法不适合消去律； D. 除法不封闭。3.k-循环置换的阶数是( C. )A.1

2、； B.k-1 ； C.k ； D.k+1.4.设域 F 有 4 个元素,那么 F 的特征等于( C. )A.0 B.1 C.2 D.45.在整环 D 中, ,则主理想 当且仅当( B. ) ( P135Ex3)ba)baA. 都是 D 的素元 ； B. 相伴；和C. 的因子 D. 的因子是 是二、填空题(本大题共 10 小题，共 10 个空，每空 2 分，共 20 分) 把答案填在题中横线上。错填、不填均无分。1.模 6 加法群 共有_2_个生成元.,6ZG2.在 中， =_(13524)_ .3S)245(13.称映射 是集合 A 到集合 B 的满射，如果 .f bafABb)(,使4.设

3、群 G 的阶为 m，H 是 G 的子群，H 的阶为 n，那么 H 在 G 里的指数为 m/n .5. 群 G 的一个子群 N 是 G 的不变子群当且仅当对 G 的任一个元 ，有 = N .16.在唯一分解环整环中，素元 p 的乘积 ，则 p 整除a或7.设 G 为群 ,则 G 中满足方程 的元素 = .cba, bcxx1acb8.设 R 是有单位元的交换环, ，则由 生成的 = .Ra)()(Rr9.任何一个群都同构于一个 变换群 .10.称环 R 是个域，如果环 R 是一个 交换除环 .三、判断题(本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分) 下列命题你认为正确的在题后括号2打“”

4、，错误的打“” 。1.设 A=D=所有整数的集合 。那么， 是 A 到 D 的一个映射。 （ 2a：）2. 设 K 和 L 都是群 G 的子群，则 KL 也是 G 的子群。 （ ）3. 环 R 的每一个子环都是 R 的理想。 （ ）4. 唯一分解环没有零因子。 （ ）5.设域 E 是域 F 的一个代数扩域，而 是 E 上的一个代数元，则 也是 F 一个代数元。 （ aa）四、判断说明题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分) 下列命题正确或错误均需要说明，判断 2 分，说明 2 分，判断错误，全题无分。1.阶是素数的群是不是一定是循环群?（P70 Ex1）判断:正确。说明：设群 的

5、阶是素数 ，则 ，于是可找到 而 ，设 的阶为 ，则Gp2Gaean，由定理 3 知， ，但 为素数，故 .由 生成 的一个循环子群 ，那1nnpn)（么 中的所有元 是 的 个不同元，但群 的阶是素数 ， 故)a（ 1210,aa p= ，即 是循环群。（2.整环中的每一个非零元是不是一定都有逆元?判断:错误说明：例：令 是整数环，则 是整环，除 外， 的每一个非零元都没有逆元。R1R3.如果一个关系 R 适合对称律和推移律，问 R 是不是一定满足反射律？（ P30 Ex2）判断:错误说明：例：令 A 是整数集，如下定义 A 的元间的关系 R： 当且仅当 .ab0a显然适合对称律和推移律，但

6、 R 不适合反射律，因为 不成立。0五、证明题（本大题共 4 小题，第 1，2 小题各 8 分，第 3，4 小题各 12 分，共 40 分）1.在一个有限群 G 里阶大于 2 的元的个数一定是偶数。 （P38 Ex2）证：令 G 是一个有限群，设 G 有元 ，而 的阶 ， .a2nean考察 ，有 ， ，以下证 的阶是 。1aen)(1 en)(11设正整数 ，而 ，那么同上可得 ，与 是 的阶的假设矛盾.这mmm样， 也是 的阶，易见 ，否则 ，与 的假设矛盾. 这样，na23我们就有一对不同的阶大于 2 的元 和 .a1设 G 还有元 ， ， ，并且 的阶大于 2，那么 的阶也大于 2，并

7、且bb1b，我们也有 ，否则 ，消去 得 ，与1b1- 1ae 1a假设矛盾. 同样可证 ，这样除 和 外，又有一对不同的阶大于 2 的元 和1 b.由于 G 是一个有限群，而 G 的阶大于 2 的元总是成对出现，所以 G 里阶大于 2 的元的个数一定是偶数。2.在所有偶数作成的环 R 中，证明（ 4）是 R 的最大理想，但 不是一个域。 （P119 )4/(REx3）证 ：设 是 的一个理想，且 ，而 ，则 除包含 外还至少包含）（)(n一个 ，其中 是偶数但不是 4 的倍数，从而 ， ，但 是偶数，mrqm0m只有 ，那么， ，从而对偶数作成的环 的任一元 ，2rqr rb2故有 ，因此

8、是 的最大理想。R)(在 中 而 ，即 有零因子，所以 不是一个4002)4(R)4(R域。3.设 H 是 G 的子群，N 是 G 的不变子群，证明:(1)HN 是 H 的不变子群；（2）N 是 HN= 的不变子群；（3）,NnHh.证：(1) 由于 H 是 G 的子群，N 是 G 的不变子群，因此 HN 是 G 的子群。 （P64 Ex2）由 HN 是 G 的子群，HN ，有 HN 是 的子群。以下证 HN 是 H 的不变子群。， HN，则 且 。由于 H 是 G 的子群，因此由 ，得hxxHh，故 .又 N 是 G 的不变子群,有 ,故 ,即 HN1-1 hx1x1是 H 的不变子群。（2

9、）由 H 是 G 的子群，N 是 G 的不变子群,有 ， ，故 ，即 非eNe空。， ， ，使 ，yx,h21,n21,1nhx2y由于 H 是 G 的子群，N 是 G 的不变子群，因此 ， ，因H21 Nh11）（此 = = ，故 是 G 的子1nh2)()(h2)群。由 N 是 G 的不变子群， ，有 N 是 的不变子群。H（3）规定一个法则 ，nh)(：）（ n,4可证 是 到 的一个同态映射.HN任取 ，因为 由 唯一确定，所以 是 到 的一个映射.hhHN对任意的 ，由于 ，因此n)( ）（ Nn, hn)( hnN）（故 是 到 的满射.任取 ，有 = ，21, h)(2121)(

10、2121所以 是 到 的一个同态满射.可证同态满射的核是 .e）（事实上，因 ，任取 ，则 且,)(1e x）（ Hx，从而 且 ，故 .反之，任取 ，则Nx)(HxNHN且 ，从而 ，故 .H）（ 1由 P76 定理 2 知， 是 H 的不变子群，且 .也可规定一个法则 , ,证明 是)()(hn： ）（ nh,的同构映射即可.到4.设整环 ，证明 5 不是素元。 （仿 P130 例题）,是 整 数baiI证：（1） 的元 是一个单位，当而且只当 的时候。12事实上，若 是一个单位，那么 ， ，即 .i / 2/2/1但 是一个正整数，同样 也是一个正整数，因此有 .22a 2/反过来，若

11、，那么 ， 或 ， 这就是说2ba0bab或 ，这些显然是 的单位。1iI此外，再没有一对整数 满足 ，所以 的单位只有 及 a,12I1i（2）适合条件 的 的元 一定是素元。52事实上，若 ，则 ，又由（1） 也不是单位。设 是 的因子，则0， ，但 和 都是正整数，因此 或 .52 252若 ，则 是单位，从而 ，因此 是 的相伴元；若 ，则12 1-，从而 是单位，因此 ，故 是 的相伴元。2 -不管哪种情形， 只有平凡因子，因而 是素元。（3） 的元 5 不是素元。I由于 ，而 ，因此根据（2）可知，)21(i512ii给出了 5 的一个素元分解，故 5 不是素元。)(215i六、计

12、算题(本大题共 1 小题，共 8 分)设 G= 是个 10 阶循环群， 计算 的阶，G 的子群 ，及 92,ae ea102)(2a的所有左、右陪集。)2a解：由 得， ，以下证 的阶为 5.10e52)(25若有正整数 使 ，则 ，但 的阶是 10，故 ，从而 ，于keak)(2eak2 k2105是的阶为 5.2aG 的子群 = 。由于 的阶 ，G 的子群 的阶)(2 8642,eN)(2a，因此 在 中的指数 ，故 关于 的左陪集及右陪集的5n 2510nNj )(2个数均为 2.关于 的所有左陪集如下： = , = .)(2ae)(2a 8642,a)(2 9753,a关于 的所有右陪集如下： = , = .G