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1、第二章 z变换和DTFT,本章主要内容：,1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述,2.1 z变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种： 时域分析方法 变换域分析方法 连续时间信号与系统 LT FT 离散时间信号与系统 ZT FT,一、ZT的定义,z 是复变量，所在的复平面称为z平面,二、ZT的收敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1）有限长序列,Roc-Region of conver
2、gence,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。,如果n20 ，则收敛域不包括点 如果n10 ，则收敛域不包括0点 如果n10n2，收敛域不包括0 、点,2）右边序列,因果序列的z变换必在处收敛 在处收敛的z变换， 其序列必为因果序列,3）左边序列,4）双边序列,例1,收敛域应是整个z的闭平面,例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯
3、一确定。 X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,2.2 z反变换,实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法,z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n),1、围数积分法求解（留数法）,若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：,1、围数积分法求解（留数法）,根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围线c是在X(z
4、)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,单阶极点的留数：,思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,2、部分分式展开法求解IZT ：,常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1,若函数X(z) 是z的有理分式，可表示为：,利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z) 的z反变换。,例2 设 利用部分分式法求z反变换。,解：,3、幂级数展开法求解（长除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除
5、分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,例1,ROC1:,长除法示例,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,ROC2:,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式,1、线性性,2.3 Z变换的基本性质和定理,R1R2,R,|a|R,
6、R,2、序列的移位,3、z域尺度变换 （乘以指数序列）,4、 z域求导 （序列线性加权）,Z变换的基本性质（续）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共轭序列,7、初值定理,8、终值定理,Z变换的基本性质（续）,9、有限项累加特性,ZT的主要性质参见书p.69页的表2-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4 序列ZT、连续信号LT和FT的关系,若：,连续信号采样后的拉氏变换LT,抽样序列：,当,两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为,对比：,进一步讨论这一映射关系：,1,s平面到z平面的 映射是多值映射。,:,:,:,:,抽样序列在单位圆上的
7、z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换,数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率W的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p,2.5 离散信号的付氏变换DTFT,一、DTFT的定义,变换对：,称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。,FT存在的充分必要条件是：,如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,二、比较ZT和DTFT的定义：,利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值,例1、
8、计算门序列的DTFT,(类似Sa(.)函数 ),(线性相位),解：,DTFT,幅频特性：,相频特性：,图示说明：,例2、已知 ( ),计算其DTFT。,由此可以得到FT的幅频特性和相频特性,物理说明: 若 (语音信号处理中常用该指数 函数展宽单音信号的频谱) ,该信号3db带宽 (或 )。具体求 解过程如下： 令 即 可解出,三、FT与DTFT的关系,归一化,利用FT与DTFT关系计算下列序列的 DTFT,例：,解：1）,2）,3）,2.6 DTFT的一些性质,1、线性性：,2、实序列：,实偶性：,实奇性：,3、时移特性：,4、乘以指数序列 （调制性）,5、序列线性加权,6、序列翻褶,7、序列
9、共轭,8、卷积定理： (时域) (频域),DTFT的主要性质参见书p.78页的表2-3,9、帕色伐尔定理：(Parseval Theory),频域卷积在一周期内积分,称周期卷积。,下面举例说明DTFT性质得使用。 计算下列积分I的值。,解：根据,利用时域卷积定理有：,上式卷积n=0时就是积分I的值。,2.7 周期性序列的DTFT,1、复指数序列的傅里叶变换,复指数序列ejw0n的傅里叶变换，是以w0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p 思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+f),2、常数序列的傅里叶变换,常数序列的傅里叶变换，是以w=0为中心，
10、以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p,3、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换,周期为N的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在w=2p/N的整数倍上的一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为2p/N,4、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换,周期性序列 （周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以，而 是x(n) 的一个周期的傅里叶变换X(ejw)在频域中w= 2p/N的整数倍的各抽样点上的抽样值。,即：,e满足0e 2p/N,从w=0之前开始抽样； 在w=2p之间结束抽样； 此区间共有N个抽样值： 0kN-1,周期序列的DFS正变换和反变换
11、,周期序列的傅里叶级数（DFS）,其中：,2.8 Fourier变换的对称性质,共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,定义：,其中：,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：,对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数 虚部是的奇函数,幅度是的偶函数 幅角是的奇函数,2.9 离散系统的系统函数、系统的频率响应,LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),系统的
12、频率响应 ：,单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的DTFT,1、若LSI系统为因果稳定系统,稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续,H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内,1）因果：,2）稳定：,序列h(n)绝对可和，即,而h(n)的z变换的Roc：,3）因果稳定：Roc：,2、系统函数与差分方程,常系数线性差分方程：,取z变换,则系统函数,3、系统的频率响应的意义,1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：,2）LSI系统对正弦序列的稳态响应,输出同频 正弦序列 幅度受频率响应幅度 加权 相位为输入相位与系统相位响应之
13、和,3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应,其中：,微分增量（复指数）：,4、频率响应的几何确定法,利用H(z)在z平面上的零极点分布,频率响应：,则频率响应的,令,幅角：,幅度：,零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点在单位圆上，谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零 极点位置影响凸峰的位置和深度 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 极点在单位圆外，系统不稳定,5、IIR系统和FIR系统,无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列,有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列,IIR系统：至少有一个,FIR系统：全部,全极点系统（自回归系统，AR系统） ：分子只有常数项,零极点系统（自回归滑动平均系统，ARMA系统）: 分子不止常数项,收敛域 内无极点，是全零点系统,（滑动平均系统，MA系统）,IIR系统：至少有一个,有反馈环路，采用递归型结构,FIR系统：全部,无反馈环路，多采用非递归结构,Homework：P831(1)(2)(3) 3(1) 7 10 14 18,
