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1、1,控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型。在给定外作用和初始条件下，求解控制系统的微分方程可得到系统输出响应的表达式，并可作出输出量的时间响应曲线，从而直观地反映出系统运动的动态过程。 但是，当系统参数或结构改变，则需要重写微分方程。微分方程阶数越高，工作越复杂。 传递函数是经典控制理论中广泛采用的一种数学模型。利用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能，以及系统参数或结构变化对动态性能的影响。,2.3 传递函数,2,*数学工具拉普拉斯变换与反变换, 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作,3,*数学工具拉普
2、拉斯变换与反变换, 拉氏变换基本定理 线性定理： 位移定理： 延迟定理： 终值定理： 初值定理：,4,*数学工具拉普拉斯变换与反变换,微分定理： 积分定理：,5,*数学工具拉普拉斯变换与反变换, 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： F(s)中具有不同的极点时，可展开为,6,*数学工具拉普拉斯变换与反变换, F(s)含有共扼复数极点时，可展开为, F(s)含有多重极点时，可展开为,7,2.3.1 传递函数的概念,在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。即，,8,若已知线性定常系统的微分方程为,式中c(t)为输出量，r(t)
3、为输入量 。,设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上式取拉氏变换，得,9,则系统的传递函数为,或写为,传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。,10,2.3.2 传递函数的特点,1作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。,2传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。,11,3传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明
4、系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。,4传递函数只表示单输入单输出(SISO)之间的关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。,12,5. 传递函数可表示成零极点形式,p1, p2, , pn 为分母多项式的根，称为传递函数的极点； z1, z2, , zn 为分子多项式的根，称为传递函数的零点； Kg称为根轨迹放大系数,的零极点分布图,13,传递函数还可以表示成时间常数形式,i(i=1,m)和Ti(i=1,n)为时间常数； Kk称为系统的开环放大系数。,14,6.传递函数分母多项式称为特征多
5、项式，记为 而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。这是由于实际系统的惯性所造成的。,15,2.3.3 典型环节的传递函数,可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的K、sv、(is+1)、1/(Tjs+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。,为了分析的方便，一般将一个复杂的控制系统分解成若干个部分的组合，每一部分称为环节。从动态方程、传递
6、函数和运动特性角度看，不可再分的最小环节称为基本环节。控制系统的组成虽然各异，但常见的典型基本环节并不多。主要的典型基本环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。,16,式中，K放大系数或增益。,传递函数为,比例环节的动态方程为,例 如图所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。 解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为,式中，K= -R2/ R1,传递函数为,运算放大器,输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节。,1. 比例环节,17,2. 积分环节,式中，Ti 积分时间常数。,传递函数为,积分环节的动态方程为,例 如图所示为运算放
7、大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。 解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为,传递函数为,运算放大器,18,3.微分环节,式中，Td 微分时间常数。,传递函数为,微分环节的动态方程为,例 如图所示为一电感线圈。设输入为i(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为,传递函数为,电感线圈,19,4.惯性环节,式中，T惯性环节的时间常数； K惯性环节的增益或放大系数。,传递函数为,惯性环节的动态方程为,(2-47),例 如图所示RC网络。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程
8、为,对上式进行零初始条件下的拉式变换,图2-17 RC电路,20,5.一阶微分环节,式中，时间常数,传递函数为,一阶微分环节的动态方程为,消去中间变量I(s)，得到,传递函数为,21,6.二阶振荡环节,(2-50),式中，n=1/T无阻尼自然振荡频率；阻尼比。,传递函数为,二阶振荡环节的动态方程为,(2-52),例 如图所示RLC电路。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为,对上式进行零初始条件下的拉式变换,(2-51),22,7.二阶微分环节,传递函数为,二阶微分环节的动态方程为,消去中间变量I(s) ，得到,传递函数为,式中，,，
9、,23,8.时滞环节,传递函数为,时滞环节是在输入信号作用后，输出信号要延迟一段时间才重现输入信号的环节。其动态方程为,在实际生产中，有很多场合是存在延迟的，如测量系统，皮带或管道输送过程，管道反应和管道混合过程等。,24,* 电气网络的运算阻抗与传递函数,求传递函数一般都要先列写微分方程式。然而对于电气网络，采用电路理论中的运算阻抗的概念和方法，可以不列写微分方程式也可以方便地求出相应的传递函数。,在计算正弦稳态电路的方法中,我们引入了运算阻抗的概念。电阻R的运算阻抗就是电阻R本身。电感的运算阻抗是Ls，电容C的运算阻抗是1Cs，其中s是拉氏变换的复参量。,25,这样，我们就可以采用普通的电
10、路定律，经过简单的代数运算，就可能求解I(S)和U(S)及相应的传递函数。采用运算阻抗的方法又称为运算法，相应的电路图称为运算电路。,把普通电路中的电阻R、电感L、电容C全转换成相应的运算阻抗，把电流i(t)和电压u(t)全换成相应的拉氏变换式I(S)和U(S)，把运算阻抗当作普通电阻。那么从形式上看，在零初始条件下，电路中的运算阻抗和电流、电压的拉氏变换式I(S)和U(S)之间的关系满足各种电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫电流定律和电压定律。,26,例1: 在图2.2-1(a)中，电压u1和u2分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数G(s)U2(s) U1(s) 。,解: 将电路图(a)变成
11、运算电路图(b)，R与1Cs组成简单的串联电路，于是 这是一个惯性环节。,27,例2: 在图2.2-2(a)中，电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量，求传递函数G(s)U2(s)U1(s)。,解：将图(a)变换成运算电路图(b)。设R2 与1Cs的并联电路的运算阻抗为Zl，则,根据理想运算放大器反相输入时的特性，有,这个传递函数含有一个惯性环节和一个比例环节。,28,例3: 在图2.2-3(a)中，电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量，求传递函数G(s)U2(s)U1(s)。,解：C 的运算阻抗是1Cs。这是运算放大器的反相输入，故有,该电路包含一个积分环节，故称为积分电路。,29,这个环节是由纯微分环节和比例环节组成，称为理想微分环节。,例4: 在图2.2-4中，电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量，求传递函数G(s)U2(s)U1(s)。,解：,这个传递函数是在理想运算放大器及理想的电阻、电容基础上推导出来的，对于实际元件来说，它只是在一定的限制条件下才成立。,30,例5: 在图2.2-5中，电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量，求传递函数G(s)U2(s)U1(s)。,这个环节包括一个比例环节，一个纯微分环节和一个惯性环节，被称为带有明显惯性的实际微分环节。,解：,31,作业：P4748 1、5,
