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1、九年级数学(上)第三章 证明(三),3.回顾与思考(1) 证明(三)小结,挑战“记忆”,说说平行四边形,矩形,菱形,正方形之间的关系.,“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰三角形的两个底角”角的证明过程有什么联系?,依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是特殊四边形吗?你能证明你的结论吗?,“公理”知多少,本套教材选用如下命题作为公理 :,1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;,2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;,3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;,4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;,5.三边对应相等的两个三角形全等;,6.全等三角形
2、的对应边相等,对应角相等.,学好几何标志是会“证明”,证明命题的一般步骤:,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);,(2)根据题意,画出图形;,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;,(6)检查表达过程是否正确,完善.,平行四边形的性质,定理:平行四边形的对边相等.,证明后的结论,以后可以直接运用.,四边形ABCD是平行四边形. AB=CD,BC=DA.,定理:平行四边形的对角相等.,四边形ABCD是平行四边形. A=C, B=D.
3、,定理:平行四边形的对角线互相平分.,四边形ABCD是平行四边形. CO=AO,BO=DO.,定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.,MNPQ,ABCD, AB=CD.,平行四边形的判定,定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.,定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.,定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.,定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.,AB=CD,AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形.,ABCD,AB=CD, 四边形ABCD是平行四边形.,AO=CO,BO=DO, 四边形ABCD是平行四边形.,A=C,B=D. 四边形ABCD是平行四边形.,等腰梯形的性
4、质,定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.,定理:等腰梯形的两条对角线相等.,在梯形ABCD中,ADBC, AB=DC, AC=DB,在梯形ABCD中,ADBC, AB=DC, A=D, B=C.,证明后的结论,以后可以直接运用.,等腰梯形的判定,定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC, A=D或B=C, AB=DC.,定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC, AC=DB. AB=DC.,证明后的结论,以后可以直接运用.,三角形中位线的性质,定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.,这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍
5、分关系的根据.,模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.,要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.,DE是ABC的中位,DEBC,四边形之间的关系,四边形之间有何关系？,特殊的平行四边形之间呢？,还记得它们与平行四边形的关系吗?,能用一张图来表示它们之间的关系吗?,矩形的性质,推论,定理:矩形的四个角都是直角.,定理:矩形的两条对角线相等.,推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=900.,
6、AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.,AC=BD.,在ABC中,ACB=900, AD=BD,矩形的判定,直角三角形的判定,定理:有三个角是直角的四边形是矩形.,定理:对角线相等的平行四边形是矩形.,定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,A=B=C=900,四边形ABCD是矩形.,AC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.,四边形ABCD是矩形., ACB=900.,在ABC中, AD=BD,菱形的性质,定理:菱形的四条边都相等.,定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.,AC,
7、BD是菱形ABCD的两条对角线.,ACBD,菱形的判定,定理:四条边都相等的四边形是菱形.,定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.,AC,BD是ABCD的两条对角线,ACBD.,四边形ABCD是菱形.,正方形的性质,定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.,定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.,四边形ABCD是正方形,A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.,四边形ABCD是正方形,AC=BD;ACBD;AO=CO,BO=DO;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.
8、,正方形的判定,定理:有一个角是直角的菱形是正方形.,定理:对角线相等的菱形是正方形.,定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.,四边形ABCD是菱形,A=900,四边形ABCD是正方形.,四边形ABCD是菱形,AC=DB.,四边形ABCD是正方形.,四边形ABCD是正方形.,四边形ABCD是矩形,ACBD,复习题(A组),1.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P,Q是对角线BD上的两个点,且BP=DQ. 求证:AP和QC互相平行且相等.,2.证明:如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么依次连接它的四边中点得到一个正方形.,复习题(A组),3.已知:如图,四边形ABCD是一个正方形,E是B
9、C延长线上的一个点,且AC=EC. 求:DAE的度数.,4.如图,在ABCD中,已知AB9cm,BC4cm,B=300. 求：ABCD的面积.,复习题(A组),5.如图所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,重合部分是什么图形?试说明理由.,6.一个菱形一条对角线的长是60cm,周长是200cm. 求:(1)另一条对角线的长度； (2)这个菱形的面积.,复习题(A组),7.已知:如图,AD是ABC的角平分线，DEAC，交AB于点E,DFAB,交AC于点F. 求证: 四边形AEDF是菱形.,8.已知:如图, ABC的两条高为BE，CF，点M为BC的中点. 求证:MEMF.,复习题(A组),
10、9.已知:正方形的对角线的长为l. 求:它的周长和面积.,10.已知:如图,ABC的三边长分别为a,b,c,以它的三边中点为顶点组成一个新三角形;以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形. 求:这个小三角形的周长.,复习题(B组),1.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,F,G是AB边上的两个点,且FC平分BCD,GD平分ADC, FC与GD相交于点E. 求证:AF=GB.,2.已知:如图,ABCD各角的平分线相交于点E,F,G,H. 求证:四边形EFGH是矩形.,复习题(C组),1.已知两条对角线,利用尺规作一个菱形.,2.已知:如图,ABC的三边长分别为a,b,c,以它的三边中点
11、为顶点组成一个新三角形;以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形; 求:(1)这两个小三角形的周长和面积; (2)第n个小三角形的周长和面积.,随堂练习,求证: ABC是等腰三角形.,已知:D,E,F分别是ABC中AB,BC,CA的中点,四边形DECF是菱形.,三角形的重心,我们知道,三角形的三条中线交于一点. 这一点叫做三角形的重心.,三角形的重心分每一条中线的比为12(重心到每边的中点距离重心到所对角的顶点的距离).,你能证明这个命题吗?,与同伴交流你的想法和具体的证明方法.,三角形的重心有一个重要的几何性质:,三角形重心的几何性质,已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且
12、相交于点G.,分析:要证明GEGA=12,可以考虑折半法(如取GA的中点M,GB的中点N).,转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.,分别连接FE,EN,NM,MF.,求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.,从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明.,怎么样,在老师的帮助下,你可以写出证明过程了吗? 由此你又悟出了些什么?,三角形重心的几何性质,已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于点G.,证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.,F,E是AC,BC的中点, FEMN,FE=MN.,求证:GEGA=GFGB=GDGC=12.,四
13、边形FENM是平行四边形.,MG=GE,NG=GF.,FEAB,MNAB,AM=MG=GE,BN=NG=GF., GEGA=GFGB=12.,同理,GDGC=12,GEGA=GFGB=GDGC=12.,知识的升华,P93习题3.6 1,2题. 祝你成功！,P93习题3.6 1题.,1.如图,四边形ABCD是正方形,ABC是等边三角形. 求:的度数.,P93习题3.6 2题.,2.已知:如图,四个小朋友分别站在正方形ABCD的四条边的点A1,B1,C1,D1处,并且AA1=BB1=CC1=DD1,那么四个小朋友分别所站点为顶点的四边形A1B1C1D1是一个怎样的图形?请证明你的结论.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.,
