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1、第二章 解析函数习题课1. 试问函数 在圆盘 （称为单位圆盘）内是否连续？是否一致连续？21z|2. 证明函数 除去在 外，处处不可微。)(f03. 设函数 在区域 内解析。证明：如果对每一点 ，有 ，那么Dz0)(f在 内为常数。4. 设函数 在区域 内解析。证明：如果 满足下列条件之一，那么它在 内为zf)(fD常数：（1） 或 在 内为常数；)(ReIm（2） 在 内为常数。|f5. 证明：若函数 在上半平面解析，则函数 在下半平面解析。)(zf6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析： ezcos,in2而下列函数不解析：。7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：。rvu,1
2、8. 已知任何区域 内的解析函数 一定有任意阶导数。证明：D)(zf（1） 的实部和虚部在 内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：)(zf02yUx（2） 在 内， |)(4|(zf9. 试求出的 、 、 、 、 值。ie)Lni110. 由 及 所定义 的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，wzsco利用对数函数求出它们的解析表达式。11. 由及2sinhzecoz所定义 的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：w,s ,i由此从关于三角函数的有关公式导出：，1icos2z，21i)(，sz，yxyxc，nh。d ,hin12. 设两个实变数的函数 有偏导数。这一个函数可以写成
3、 及 的函数：)(uiyxz。)2,iz证明： (1),2yxiz设复变函数 的实部及虚部分别是 及 ，并且它们都有偏导数，求f),u(v证，对于 ，柯西-黎曼条件可以写成(。0zif13. 设函数 在 解析，那么我们说 在 解析。下列函数中，哪些在无穷)1zf)(远点解析？，zez1,Ln。mba.014. 在复平面上取上半虚轴作割线。试在所得的区域内分别取定函数 和 在正实轴zLn取正实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值。i15. 在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：（1） 取定函数 在正实轴上沿取正实值的一个解析分支，并求这个分支)0(z在 处的值；在正实轴下沿的值。（2） 取定函数 在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这个分支在 处的值；Ln1z在正实轴下沿的值。16. 求 函数的支点，证明它在线段)1(2k，kx,的外部，能求在 取正值的那个分支。0z17. 研究函数 3)2(zw如果规定 时， 。任作两种适当的割线，求这函数的一个解析分支在 的值。iz18. 找出下列推理的错误：因为 ，所以 ，因此2)(Ln)(。zLn)(
