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1、加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标两个计数原理的理解和应用；排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质.二.知识梳理1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 1m种不同的方法，在第二类办法中有 2m种不同的方法，在第 n 类办法中有 n种不同的方法那么完成这件事共有 1nN 种不同的方法2 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 1m种不同的方法，做第二步有 2m种不同的方法，做第 n 步有 m种不同的方法，那么完成这件事有1nN种不同的方法3 两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数4
2、 两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成” ，乘法原理是“分步完成” 5 原理浅释分类计数原理(加法原理)中， “完成一件事，有 n 类办法” ，是说每种办法“互斥” ，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏，进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事，只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法原理)中， “完成一件事，需要分成 n 个步骤” ，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，
3、需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有 m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同两个原理的公式是: 12nNm , 12nNm6排列的概念：从个不同元素中，任取（ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列7排列数的定义：从个不同元素中，任取（ mn）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 nA表示8排列数公式： (1)2(1)mn （ ,Nmn）9.阶乘： !表示正整数 1 到的连乘积，叫做
4、的阶乘规定 0!10排列数的另一个计算公式： mnA= !() 11.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出 n个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合12组合数的概念：从个不同元素中取出 m个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数用符号 nC表示13组合数公式： (1)2(1)!mnAC或 )!(mn),(Nmn且14.组合数的性质 1： mn规定： 10nC；15组合数的性质 2： nC1 + 1 16.解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的” ，也就是会正确使用分类计数原理和分步计
5、数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：（1）特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个（答案：30 个）（2）科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台，其中至少有原装与组装计算机各两
6、台，则不同的选取法有_种（答案：350）分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分；（3）插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_ (答案:3600)来源:（4）捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排，例如：6 名同学坐成一排，其中甲、乙必须 坐在一起的不同坐法是_种（答案：240）（5）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法b、排列组合应用题往往和代数
7、、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条（答案：30）（6）剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入 m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪成 m 段（插入 m1 块隔板） ，有 1mnC种方法.（7）错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小
8、球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当 n=2, 3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44.2 个、3 个、4 个元素的错位排列容易计算。关于 5 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题：5 个元素的全排列为： 5120A；剔除恰好有 5 对球盒同号 1 种、恰好有 3 对球盒同号(2 个错位的) 351C 种、恰好有 2对球盒同号(3 个错位的) 25C 种、恰好有 1 对球盒同号(4 个错位的) 9 种。 120-1- 35- - 1944.用此法可以逐步计算：6 个、7 个、8 个、元素的错位排列问题。三考点逐个突
9、破1.分类、分步计数原理例 1 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱， 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有 302920=17400 种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有 201930=11400 种结果因此共有17400+11400=28800 种不同结果例 2 从 集合1 ，2，3， 10中，选出由 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中的任何两个数的和不等于 11
10、，这样的子集共有多少个?解：和为 11 的数共有 5 组：1 与 10，2 与 9，3 与 8，4 与 7，5 与 6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自 5 个组中的一个数而每个数的取法有 2 种，所以子集的个数为 22222=25=32点评：解本题的关键是找出和为 11 的 5 组数，然后再用分步计数原理求解例中选出 5个数组成子集改为选出 4 个数呢? 答案：C 424=80 个2.排列与组合的基本问题例 1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；（2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；来源:
11、数理化网（3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，甲不跑 第一棒，乙不跑第四棒；（4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6 人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为 7206A（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 14种选法，然后其他 5 人选，有5A种选法，故排法种数为 48051A（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为 35A；乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有 14种选法，第四棒除了乙和第一棒选
12、定的人外，也有14A种选法，其余两棒次不受限制，故有 2种排法，由分类计数原理，共有 524135A种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他 4 人一起作全排列共有 2405A种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余 4 人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的 4 人的左、右及之间的空挡插位，共有 25A（或用 6 人的排列数减去问题（2）后排列数为48026A）（6）三人的顺序定，实质是从 6 个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余 3 人在 3 个位置上全排列，故有排法 12036AC种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻例
13、2 假设在 100 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 5 件的抽法，共有 6402597C种（2）恰有 2 件是次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽 2 件的抽法，共有 430397C种（3）至少有 2 件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽取 2 件，有 3297C种第二类从 97 件正品中抽取 2 件，并将 3 件次品全部抽取，有 3种按分类计数原理有 4
14、69797397C种点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从 3 件次品抽取 2 件（以保证至少有 2 件是次品） ，再从余下的 98 件产品中任意抽取 3 件的抽法，那么所得结果是 4683982C种，其结论是错误的，错在“重复”：假设 3 件次品是 A、B、C，第一步先抽 A、B 第二步再抽C 和其余 2 件正品，与第一步先抽 A、C（或 B、C） ，第二步再抽 B（或 A）和其余 2 件正品是同一种抽法，但在算式 3982中算作 3 种不同抽法例 3 求证： mnmnA11； 121mnmnC证明：利用排列数
15、公式左 !1nn!nmnA!右另一种证法：（利用排列的定义理解）从 n 个元素中取 m 个元素排列可以分成两类：第一类不含某特殊元素的排列有 mnA1第二类含元素的排列则先从 个元素中取出 1个元素排列有 1mnA种，然后将插入，共有 m 个空档，故有 1mn种，因此 nmn利用组合数公式左 !2!11! nnn 1! mmm 12!122!1! nCnnn右另法：利用公式 1mnmC推得左 1211 mnnnC右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质例 4 已知 f是集合 dcbaA,到集合 ,0B的映射（1）不同的映射 有多少个？（2）若要求 4fcf则不同的映射 f有多少个？分析：（1）确定一个映射 ，需要确定 dcba,的像（2） dcba,的象元之和为 4，则加数可能出现多种情况，即 4 有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1）A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有43个不同映射（2）根据 dcba,对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为 2，其和又为 4，必然其
