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1、1东 南 大 学 考 试 卷 ( A、B 卷)(答案附后)课 程 名 称 信号与线性系统 考 试 学 期 03-04-3 得分适 用 专 业 四系,十一系 考 试 形 式 闭卷 考 试 时 间 长 度 120 分 钟一、简单计算题(每题 8 分):1、 已知某连续信号 ()ft的傅里叶变换为 2()3Fjj,按照取样间隔 1T对其进行取样得到离散时间序列 ()fk,序列 ()fk的Z 变换。2、 求序列 10(),2kf和 2()1cos()2fkk的卷积和。3、 已知某双边序列的 Z 变换为 21()09Fzz,求该序列的时域表达式 ()fk。24、 已知某连续系统的特征多项式为: 2691
2、063)( 23457 ssssD试判断该系统的稳定情况,并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个?5、 已知某连续时间系统的系统函数为:3264()1ssH。试给出该系统的状态方程。6、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。 1z 1z 2-0.3)(ke )(kr-0.23二、 (12 分)已知系统框图如图(a) ,输入信号 e(t)的时域波形如图(b) ,子系统 h(t)的冲激响应波形如图 (c)所示,信号 ()ft的频谱为()jnFje。(t)图 (a)h(t)y(t)(tfe(t)244t图 (b)h(t)t图 (c)01试:1) 分别画出 tf的频谱图和时域波形;2)
3、求输出响应 y(t)并画出时域波形。3) 子系统 h(t)是否是物理可实现的?为什么?请叙述理由;4三(12 分) 、已知电路如下图所示,激励信号为 )(te,在 t=0 和t=1 时测得系统的输出为 1)0(y, 5.0)(。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。e ( t )L = 2 HC = 1 FR 1 = 2R 2 = 1+y ( t )_四(12 分) 、已知某离散系统的差分方程为)1()1(32( keyky其初始状态为 62,zizi ,激励 )(ke;5求:1) 零输入响应 )(kyzi、零状态响应 )(kyzs及全响应 )(ky;2) 指出其
4、中的自由响应分量和受迫响应分量;3) 判断该系统的稳定性。五(12 分) 、已知某离散时间系统的单位函数响应()cos()2kh。1) 求其系统函数 ()Hz;2) 粗略绘出该系统的幅频特性;3) 画出该系统的框图。6六、 (10 分)请叙述并证明 z 变换的卷积定理。7答案1、 已知某连续信号 ()ft的傅里叶变换为 21()3Fjj,按照取样间隔T对其进行取样得到离散时间序列 fk,序列 ()fk的 Z 变换。解法一:f(t) 的拉普拉斯变换为 211(32)( ssss,211)(Re)( ezezKzsFzFniTsisni Ti解法二:f(t)=L 1F(jw)=(et e2t )(
5、t)f(k)= (ek e2k )(k)= (21kkF(z)=Zf(k)= z2、 求序列 10(),2kf和 2()1cos()2fkk的卷积和。解:f 1(k)=1,2,1=(k)+2(k1)+ (k2)f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k1)+ f2(k2)3、已知某双边序列的 Z 变换为 2()109Fzz,求该序列的时域表达式()fk。解: 5.014.zzF,两个单阶极点为0.4、0.5当收敛域为|z|0.5 时,f(k)=( 0.4)k1( 0.5)k1)(k1)当收敛域为 0.4|z|0.5 时,f(k)= ( 0.4) k1(k1)+( 0.5)k1( k)
6、当收敛域为|z|0.4 时,f(k)= ( 0.4)k1(k)+( 0.5)k1( k)点评:此题应对收敛域分别讨论,很多学生只写出第一步答案,即只考虑单边序列。4、已知某连续系统的特征多项式为: 269063)( 23457 ssssD试判断该系统的稳定情况,并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个?解 构作罗斯-霍维茨阵列 167s29038514s3 42(0) 3s此 时 出 现 全 零 行 , 有 辅 助 多 项 式3646,s求 导 可 得 以 代 替 全 零 行 系 数 。82103ss由罗斯-霍维茨数列可见,元素符号并不改变,说明 s右半平面无极点。再由4230s令 2
7、x则有x可解得 1,相应地有 1,2sj3,4j 2这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土 j 及土 j 2,系统为临界稳定。所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根,无正实部的根。点评:此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。5、已知某连续时间系统的系统函数为:3264()1ssH。试给出该系统的状态方程。解:系统的微分方程为 )(24)(6)()(2 tetettytyt 取原来的辅助变量 q及其各阶导数为状态变量并分别表示为 1xq、 2、 3xq、3xq,于是,由此微分方程立即可以写出如下方程状态方程:)(2 3132texx输出方程: )(464321texy 或
8、者写成矩阵形式,上式即为 exx 10210 3321BeA)(4132texyDeC6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。91z 1z 2-0.3)(ke )(kr-0.2解: 6.5.32.).1() zzzH二、 (12 分)已知系统框图如图(a) ,输入信号 e(t)的时域波形如图(b) ,子系统 h(t)的冲激响应波形如图(c)所示,信号 ()ft的频谱为()jnFje。(t)图 (a)h(t)y(t)(tfe(t)244t图 (b)h(t)t图 (c)01试:1) 分别画出 tf的频谱图和时域波形;2) 求输出响应 y(t)并画出时域波形。3) 子系统 h(t)是否是物理可实
9、现的?为什么?请叙述理由;解:1)根据傅立叶变换的性质得: nttf)2()(2-4-2 4tf(t)(1)10njF)()(wF(jw)22)y(t)=e(t) f(t)h(t)=(t+2)+2(t)+ (t2) h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t2)2-2 12-1 3ty(t)3)因 h(t)是有始因果信号,所以子系统 h(t)是物理可实现的。点评:此题做对的非常少,大多数写不出 f(t)的表达方式。三(12 分) 、已知电路如下图所示,激励信号为 )(te,在 t=0 和 t=1时测得系统的输出为 1)0(y, 5.0)(e。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及
10、自然响应和受迫响应。e ( t )L = 2 HC = 1 FR 1 = 2R 2 = 1+y ( t )_解:1)电路满足 KVL:得 )(5.0)(.)(5.)( tetytty2)系统函数为: .12ssH,特征根为 1=0.5, 2=1Yzs(s)=H(s)E(s)= 5.02= .s零状态响应:y zs(t)=(e0.5t et)(t)yzs(0)=0,y zs(1)=(e0.5 e1);yzi(0)= y(0) yzs(0)=1,y zi(1)= y(1) yzs(1)= e1 ;11yzi(t)=(C1e0.5t +C2et)(t),得 C1=0,C 2=1零输入响应:y zi(
11、t)= et(t);全响应:y (t)= e 0.5t (t)点评:此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答,失去少部分分数。四(12 分) 、已知某离散系统的差分方程为)1()1(32( keyky其初始状态为 62,zizi ,激励 )(ke;求:1) 零输入响应 、零状态响应 (yzs及全响应 y;2) 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量;3) 判断该系统的稳定性。解: 13)(2zzH,特征根为 1=0.5, 2=11) yzi(k)=(C10.5k+C2)(k);代入初始条件得 C1=2,C 2=2零输入响应:y zi(k)= (220.5k)(k)Yzs(z)=
12、H(z)E(z)= 22 )1(5.013zzz= 15.0s零状态响应:y zs(k)= (0.5k +k1)(k)yzs(0)=0,y zs(1)=(e0.5 e1);全响应:y (k)= (1+k0.5 k)(k)2)自由响应:(1 0.5 k)(k)受迫响应:k(k) ,严格地说是混合响应。3)系统的特征根为 1=0.5(单位圆内) , 2=1(单位圆上) ,所 2 系统临界稳定。五(12 分) 、已知某离散时间系统的单位函数响应()cos()kh。4) 求其系统函数 ()Hz;5) 粗略绘出该系统的幅频特性;6) 画出该系统的框图。解:1)系统函数为:12121 )(21)(21)(
13、2)(cos22 2 zez keZkeZkeZkZjj jjjkj )(zH2)系统的幅频特性为: |cos2|1)(| 2jjeHw|Hjw|22230.53)系统的框图 1z1z-1E(z) Y(z)六、 (10 分)请叙述并证明 Z 变换的卷积定理。解:卷积定理设 )(1zFkfZ, )(2zFkf,则*2或用符号表示为:若 1f, )(2zkf,则)()(211zkf两序列卷积后 z 变换的收敛区是原来两个 Z 变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及 Z 变换的定义证明如下 kjj jkfzjfZkf )()()(* 212121交换上式右方的取和次序,上式成为jkjfzjfkfZ)()()(2121对上式右方第二个取和式应用式(815)的移序特性,则得)()()()(*212121 zFzjfkfj