第1章 数字电子基础知识

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1、1第一章 数字电子基础知识 内容提要：1. 数制和码制、数制之间的转换2. 逻辑代数的公式和定理3. 逻辑函数的表示方法真值表、函数式、逻辑图、卡诺图4. 逻辑函数的两种标准形式及最小项和最大项5. 逻辑函数的化简公式法和卡诺图 教学大纲基本要求：熟练掌握以下内容：1. 二进制数、十进制数、八进制和十六进制数之间的转换；2. 8421BCD 码3. 逻辑函数的基本定律和定理4. 逻辑问题的描述方法5. 逻辑函数的化简与变换 重点与考点：1. 各种常用数制之间的转换（常见考点） ；2. 逻辑代数中的基本公式、常用公式、基本定理和基本定律；3. 逻辑函数的四种表示方法及其相互转换；4. 最大项和最

2、小项的概念及关系；5. 逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法，重点是 5 变量以下的卡诺图化简，包括任意项的逻辑函数的化简。 难点：1. 多变量逻辑函数的公式化简；2. 多输出逻辑函数的简化。 教学内容：一、逻辑代数与基本逻辑函数 逻辑代数即是应用于二值逻辑电路中的布尔代数。其特点：一是它的所有变量与函数值仅有两个特征值 0 和 1，具有排中性，它们所表示的是一对互为相反的差异，它的公式、规则、定理和定义均用二值逻辑的因果关系来理解。2二是逻辑代数只有三种基本运算，即与、或、非，对应的即是逻辑与、逻辑或、逻辑非，利用这些逻辑运算则可得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、

3、同或等，用来实现这些基本逻辑运算和复合逻辑运算的单元电路统称为门电路，其逻辑符号、逻辑函数式、输入输出真值表及基本运算规则如下所示二、逻辑代数的基本公式与定理（1）逻辑代数的基本公式又称为布尔恒等式，在二至逻辑中，这些公式反映了二值逻辑的基本思想，体现了逻辑代数的运算规律，是逻辑运算的重要工具，逻辑代数的基本公式如表 2 所示：表 2 逻辑代数的基本公式（2）逻辑代数的常用公式 18、 吸收法 在一个与或表达式中，一项包含了另一项，则AB该项多余19、 消因子法 两个乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则该因子是多余的20、 并项法 两个乘积项相加时，若两项中除去一个变量AB相反外，其余

4、都相同，则可用相同的变量代替这两项21、 消项法 若两个乘积项中分别包含了 A 和 A 反CC两个因子，而这两项的其余的因子组成第三项时，则第三项是多余的。22、 求反函数法ABA（3）逻辑代数的基本定理1、代入定理：任何一个含有变量 A 的逻辑等式，如果将所有出现变量 A 的位置都代之以另外一个逻辑等式，则等式仍成立。2、对偶定理：对于任何一个逻辑函数式 Y，若将其中的 “ .”变“+” ， “+”变3“.”，1 变 0，0 变 1，则得出一个新的式子 ， 为 Y 的对偶式。 “四变一不变”3、反演定理：对于任意一个式子 Y，将其中的“ .”变“+” ， “+”变“.” ，1变 0，0 变

5、1，原变量变反变量，反变量变原变量，得出的新函数式是原函数的反函数。 “六变二不变”对于反演定理的应用要特别注意： 保持原函数的运算优先顺序。 不属于同一个变量上的非不能去掉。三、逻辑函数及其化简常用的方法：公式法和卡诺图法。一些重要的概念：最小项、最大项和卡诺图最小项：在 n 个变量的逻辑函数中，若 m 为包含 n 个因子的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则这些与项称为 n 个变量的最小项记为 。最小项的性质：im n 个变量有 2n个最小项 每个最小项等于 1 的机会只有一次； 任意两个最小项的积为 0； 全体最小项的和为 1； 只有一个变量不同的两个最小项，可以

6、合并成一项（去掉不同变量而保持相同变量） 。最大项：n 变量的最大项就是 n 个变量的和，而且每个变量都以原变量或反变量的形式在这个和项中出现一次，且仅出现一次。最大项的性质： n 个变量有 2n个最大项；（n 个变量有 2n个最小项） n2 最大项等于 0 的机会只有一次；（最小项等于 1 的机会只有一次） 全体最大项的积为 0；（全体最小项的和为 1） 任何两个最大项的和为 1；（任意两个最小项的积为 0） 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和；（只有一个变量不同的两个最小项可以合并为一项，消去不同的变量）4最小项和最大项的关系： iimM卡诺图：把 n 变量的全部最小项用

7、 n 个小方格表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫 n 变量的卡诺图。（3、4 变量的卡诺图画法要熟练）卡诺图是特点：几何位置相邻的最小项在逻辑上都具有相邻性几何相邻：相接紧挨着；相对任一行或任一列的两头；相重对折起来位置重合的。具有无关项的逻辑函数的化简： 任何一个 n 个变量的逻辑函数总可以用 m 个最小项之和的形式来表示，若剩下的 个最小项使函数式的逻辑值为 0，这就表明此函数式与其m2个最小项都有关。nn2 一个 n 变量的逻辑函数，有时并不是与它的 个最小项都有关，而是只与n2其中的一部分有关，与另一部分则无关，这一部分无关的最小项并不决定函数的

8、值，故称为无关项。 mn2 无关项的出现一般有两种情况，一是某些实际问题中，加在逻辑电路中的输入变量的某些取值不可能或不允许出现，这种对于输入变量取值所加的限制称为约束，所对应的最小项称为约束项。二是输入变量的某些取值的出现不会影响逻辑函数的有效取值，通常把这些输入变量的取值所对应的最小项称为任意项或随意项。约束项和任意项称为无关最小项，可以填入卡诺图中并可随意视为 0 或 1 参与化简，而使函数式化简为最简形式，并不会影响该逻辑函数的实际功能。四、数制之间的转换及码制五、考点及常见题型分析：例 1 （158.828125） 10（10011110.0110101） 2解：十进制数转换为 N

9、进制数的方法是：整数部分连续除基数 N，至商为 0，取余数逆序排列；小数部分连续乘基数 N，取整数顺序排列。5例 2 （10011110.110101） 2（158.828125） 10解：任意进制数转换成十进制数可用权展开式法具体来说是：见 1 加其权。例 3 （10011110.110101） 2（236.65） 8（9E.D4） 16解：用分组法可将二进制数转换为 2n 进制数以小数点为界，向左右 n 位分一组，左右端不够可以补 0。注意：有的教材二、八、十六进制分别用下标 B、O 、H 表示。例 54 个不同进制的数 376.125D、576.1O、110000000B、17A.2H，

10、按大小排列的次序是（）（）（）（） 。 （浙江大学 1989 年）解：二进制数 110000000B180H八进制数 576.1Q101111110.001B=17E.2H十进制数 376.125D178.2H十六进制数 17A.2H 得：180H17E.2H17A.2178.2H 所以排列次序如下：110000000B576.1Q17A.2H376.125D课堂练习：1. 10010（1100100） 2（144） 82. 0.851562510（0.1101 101） 2（0.DA） 163. 1101 01112=(215)10=(D7)16例 4试判断一个 8 位二进制数 A=A7A6

11、A5A4A3A2A1A0 所对应的十进制数能否被 810 整除（华中理工大学 1999） 。解：首先将二进制数 A 转换成十进制数，然后除以 810，若余数为 0，则能被810 整除。设二进制数 A 对应的十进制数为 D，利用权展开式法，得 )22()22( 01314253647 AAAD由上式可见，前 5 项都含有 23，因此可以被 8 整除；后 3 项之和为 07，所以，只有后 3 项为 0，数 D 方可被 8 整除。 310例 5将十进制数 0.85937 转换成二进制小数，要求截断误差不能大于 0.02。解：考查小数点后取几位。因为 26 0.0156250.02，所以小数点后取 5

12、 位即6可满足。0.85937 100.11011 2例 6用 8421BCD 码表示十六进制数 B7E16。解：首先把十六进制数转换成十进制数，然后表示之。B7E16 0010 1001 0100 0010 BCD10012294671BCDEB0676例 7一个 15 位的二进制数最大可表示多大的十进制数？一个 5 位的十进制数最多需要几位二进制数表示？解：15 位二进制数的最大值：2 15132767 10，即最大可表示 5 位的十进制数。一个 5 位的十进制数最大值为 9999910， 101732因此 2161=65535 109999910217-1=13107110 故 5 位的

13、十进制数需 17 位二进制数来表示。例 8判断一个二进制数的低 2 位为 0，则该数可被 4 整除。 （ ） 一个二进制数的低 4 位为 0， 则该数是 16 的整数倍。 （ ） 一个十六进制数，只有最低位数为 0 时，则该数才是 8 的整数倍。 （ ）（最低位数为 8 时，也是 8 的整除倍。 ）例 9已知函数 )14,28,(),(1mDCBAFY用卡诺图求函数运算)153420),(2BAFY 的值（上海大学 2000）)121解：画出两个函数的卡诺图，然后求 然后求 ，最后求出。)(21Y)(21Y答案是：Y=A+D+B例 10若 请直接写出：F 的对偶式和反函)()(ACBABCF数

14、（南邮 2000）解： )()()( 7例 11函数 的反函数为（B） （国防科大 1999）)(EDCAFA. B.)(B)(C. D 例 12若已知 判断等式成立的最简单方法是依据以下（） 。zxyzxy（北邮 1997）A.代入规则 B.对偶规则 C.反演规则 D.互补规则例 13用基本公式和定理证明下列等式： （反演律的应用）DBABA )(证：左 + )()(AB)(= BAAB)(= 例 14函数 的最简与或非式为（）CF解： ABACB )()(画该函数卡诺图，然后圈 0 画简，得函数 Y 的反函数，进而求出函数 Y 的最简与或非式。 CBAY注意：从卡诺图圈 0 化简，可得到函

15、数的最简与或非式。例 15设 Y1= ，Y 2 则 L1Y 1 Y2（ ） ，L 2)1,84(m),9741(m4m(28021例 16以下说法正确的是：d （北邮 1997）a.一个逻辑函数的全部最小项之和恒等于 0。b.一个逻辑函数的全部最大项之和恒等于 0。c. 一个逻辑函数的全部最小项之积恒等于 1。d. 一个逻辑函数的全部最大项之积恒等于 0。8例 17利用卡诺图化简函数 ，并用或),( 1397632 MMF与表达式表示。解： ),( 13976321MF最小项与最大项的关系)5408m画卡诺图：然后求出其反函数，由反函数得 F 的与或非表达式，然后根据反演律变成与非与非式，最后求得或与表达式。由卡诺图圈 0 得： DBCAF由上式得函数的与或非表达式： CA最后写出其或与表达式： )(例 18用图形法化简函数为最简与或式：(北理 1999)约束条件为：DBCABDCAF),0解：画卡诺图：直接写最简与或式： ACBAF六、本章练习题：1. 和 8421BCD 码（1010100 ）等值的二进制数是（110110） 。 （南理 2000）2. （144） 8（64） 16（1100100） 2（