第1章 计数原理

《第1章 计数原理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章 计数原理（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1课题 1.1.1 两个基本计数原理 分类计数原理与分步计数原 理 第一课 时教学目标知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点教学难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。教学过程：学生探究过程：问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有

2、4 班, 汽车有 2 班，轮船有 3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有 3 类方法,第一类方法, 乘火车，有 4 种方法;第二类方法, 乘汽车，有 2 种方法;第三类方法, 乘轮船, 有 3 种方法;所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 问题 2. 如图,由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条。从 A 村经B 村去 C 村，共有多少种不同的走法? 分析: 从 A 村经 B 村去 C 村有 2 步,第一步, 由 A 村去 B 村有 3 种方法,第二步, 由 B 村去 C 村有 3

3、种方法,所以 从 A 村经 B 村去 C 村共有 3 2 = 6 种不同的方法。 分类计数原理 完成一件事，有 n 类办法,在第一类办法中有 m1种不同的方法,在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。分步计数原理 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。、 例题1. 某班级有男三好学生 5 人,女三好学生 4 人。A村B村C村北南中北南3(1)从中任选一人去领奖, 有多少

4、种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法？ 分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有 2 类办法,第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有 m2 = 4 种不同的方法; 所以, 根据分类原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种。 (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分 2 步完成, 第一步, 选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法;第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法;所以, 根据分步

5、原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种。 例 21 在图 1-1-3（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？2 在图 1-1-3（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法图见书本第 7 页分析略例 3 为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，1 密码为 4 位，每位均为 0 到 9 这 10 个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？2 密码为 4 位，每位是 0 到 9 这 10 个数字中的一个，或是从 A 到 Z 这 26 个英文字母中的 1个，这样的密码共有多少个？3 密码为 4-6 位，每

6、位均为 0 到 10 个数字中的一个，这样的密码共有多少个？分析略巩固练习：书本第 9 页 练习 1，2，3 习题 1. 1 1，2课外作业：第 9 页 习题 1. 1 3 , 4 , 5教学反思：分配问题把一些元素分给另一些元素来接受这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素例如，把 10 个全排列，可以理解为在 10 个人旁边，有序号为 1，2，10 的 10 把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类

7、是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .mnp其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位” ，不要管它在生活中原来的m意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位” ，于是，方法还可以简化nm为 .这里的“多”只要 “少”.p少多.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分配问题，4方法是分组问题的计算公式乘以 .kp课题 1.1.2 两个基本计数原理 分类计数原理与分步计数原 理 第二课 时教学目标知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理

8、分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点教学难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。6教学过程：学生探究过程：1. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果

9、？ 2. 从集合1，2，3，10中，选出由 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中的任何两个数的和不等于 11，这样的子集共有多少个? 复习：1.分类计数原理、分步计数原理概念2.分类计数原理、分步计数原理的不同点例题讲解：例 1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条第二类, m2 = 12 = 2 条第三类, m3 = 12 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点 A 到顶点 C1 最近路线共有 N = 2 + 2

10、 + 2 = 6 条例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 变式1，如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 2 若颜

11、色是 2 种，4 种，5 种又会什么样的结果呢？75600 有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于 75600=2 433527(1) 75600 的每个约数都可以写成 的形式,其中 ,lkjl7532 40i7, ,30j2k10l于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 分别在各自的范围内任取一个值,lkji这样 有 5 种取法 , 有 4 种取法, 有 3 种取法, 有 2 种取法,根据分步计数原理得约数的个数ijkl为 5432=120 个.巩固练习：1.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2

12、 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2.书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？3.如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 奎 屯王 新 敞新 疆若变为图二,图三呢?5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争

13、夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 课外作业：第 10 页 习题 1. 1 6 , 7 , 8教学反思：要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可分析不透就用 或 乱套一气具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要mnpc求，如果有“顺序”的要求，用 ；反之用 其次，要弄清目标的实现，是mnmnc分步达到的，还是分类完成的前者用乘法原理，后者用加法原理事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑” ，一个是“反过来剔”前者指，按照要求，一点点选出

14、符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去 图一 图二 图三8课题 1.2.1 排列 排列的定义 第一课时教学目标知识与技能：理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列.过程与方法：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点教学难点理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列.掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想.教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：能用树形图正确写出

15、一些简单排列问题的所有排列。教学过程：学生探究过程：（1）高二（1）班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少种不同的结果？（2）从 1，2，3 三个数字中选出两个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？（3）北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？上面三个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是，所提出的问题就是从 3 个不同的元素a、b、c 中任取 2 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。第一问用树形图表示:班长 甲 乙 丙副班长 乙 丙 甲 丙 甲 乙即共有 6 种不同的结果：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙事实上，这 6 种选法分别是从甲、乙、丙三个学生中选出两个学生，并按一定的顺序排成一列（班长排在第 1 位，副班长排在第 2 位）而得到的。数学建模一般地，从 n 个不同的元素中取出 m（mn）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列下列问题是排列问题吗？（1）从 1，2，3，4 四个数字中，任选两