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1、1,第一节 留数,第六章 留数理论及其应用,1. 留数的定以及留数定理,2. 留数的求法,3. 函数在无穷远点的留数,2,定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析，则称积分,为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：,1. 留数的定义及留数定理,将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：,即,3,定理6.1 (柯西留数定理) f(z)在围线或复围线C所围区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域=D+C上除a1,a2,an外连续,则,证 作圆周 使其全含于,内且两两不相交，取逆时针方向，则由复合闭路定理有,注 留数定理的重要意
2、义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。,4,2. 留数的求法,(1) 常规方法:,不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。,(1) 常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式 ，即负幂项 的系数。,(3) a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求,(2) a为有限可去奇点时:,运用留数定理计算复变函数闭合
3、曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。,(4) a为极点时，有如下结论.,5,其中(z)在点a解析, (a)0，则:,定理6.2 设a为f(z)的n级极点,即,推论6.3 设a为f(z)的一级极点,则,推论6.4 设a为f(z)的二级极点,则,定理6.5 设a为,的一级极点,6,解,7,分析,由定理6.2得,计算较麻烦.,8,解,9,说明:,如 为 n 级极点，当 n 较大而导数又难以计算时,2. 在应用定理6.2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将n,但有时把n取得比实际的,如上例取,10,解
4、,为一级极点,为二级极点,11,12,设 , 求留数,计算积分 逆时针方向。,计算积分 逆时针方向。,练习 求 在 的留数, 其中a,b是实常数.,13,3. 函数在无穷远点的留数,定义6.2 设为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-：0r|z|+内解析，则称,为f(z)在点的留数,记为,其中-是顺时针方向.,设f(z)在0r|z|+内的洛朗展式为,由逐项积分定理即知,也就是说， 等于f(z)在点 的洛朗展式中 项的系数的相反数。,14,定理6.6 如果f(z)在扩充复平面C上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内) ,则f(z)在各点的留数总和为零，即,15,例2 利用无穷远点的留
5、数计算积分,例1 计算积分,函数在无穷远点的留数的另一计算公式,或写成如下形式,16,第二节 用留数定理计算实积分,1. 计算 型积分. 2. 计算 型积分 3. 计算 型积分,某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分值，这时计算某些实积分的有效途径之一。,17,表示 , 的有理函数,1. 计算 型积分,并且在,上连续.,当z沿圆周|z|=1的正方向绕行一周，有,这里,令,z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,18,例1 计算积分,解,则,19,20,例2 计算,解,令,21,极点为
6、 :,(在单位圆内),(在单位圆外),22,例3,解,故积分有意义.,23,24,因此,25,思考题,26,2. 计算 型积分,引理6.1 设f(z)沿圆弧,上连续，且,于SR上一致成立(即与,为互质多项式,且满足条件: (1) n-m2;,定理6.7 设,为有理分式,其中,0,x,a2,ak,a1,y,z,a3,a4,中的 无关),则,（大圆弧引理）,27,例4 计算积分,解,28,29,例5 计算积分,解,在上半平面内有一级极点,30,31,3. 计算,引理6.2(约当Jordan引理) 设：,上连续,在 上一致成立.则,型积分,R,(2),(1)g(z)沿半圆周,32,特别说来,将(*)
7、分开实虚部,就可以得到形如:,则,(2) Q(x)0,xR,; (3)m0.,(*),定理6.8 设 ，其中P(z)及Q(z)是互质多 项式且满足条件(1) Q(z) 的次数比P(z)的次数高；,定理的证明类似于定理6.7.,33,例6 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,34,35,4. 计算,上连续,且,型积分,Sr,引理6.3 设f(z)在圆弧,于Sr上一致成立,则有,证 因 ,于是有,分析类似于引理6.1.,（小圆弧引理）,36,例6 计算积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点, 所以可取图示路线:,37,解,封闭曲线C:,由柯西-古萨定理得:,由,38,3
8、9,当 充分小时, 总有,40,即,41,例7,证,如图路径，,42,43,令两端实部与虚部分别相等，得,菲涅耳(fresnel)积分,44,5. 多值函数的积分,其中s为实数,Q(x)为单值函数.取被积函数为,辅助路径 上的积分用,大圆弧引理， 上的积分,当然需要满足如下条件： 在中，有,CR,R,围道如图所示.,用小圆弧引理，,45,第三节 辐角原理及其应用,6.3.1 对数留数 6.3.2 辐角原理 6.3.3 儒歇定理,46,定义：形如,的积分称为f(z)的对数留数。,注:函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点.,6.3.1 对数留数,引理6.4 (1)设a为f(z)的n级零点(极点
9、）,(2)设b为f(z)的m级极点，则b,必为函数 的一级极点,且,47,定理6.9 设C是一条围线，f(z)满足条件:,(1)f(z)在C的内部是亚纯的;,(2)f(z)在C上解析且不为零；则有,式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数.,例1 计算积分,48,不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原,点若干圈.,1. 对数留数的几何意义,6.3.2 辐角原理,49,单值函数,等于零,50,结论:,(k总为整数),对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k,51,由定理一及对数留数的几何意义得,可计算f(z)在C内零点的个数 此结果称为辐角原理,52,如f(z
10、)在围线C上及C内部均解析,且f(z)在C上不为零,则,辐角原理,(2) f(z)在C内是亚纯的,(3) f(z)在C上连续且不为零,则,设(1) C是一条围线,53,定理6.10 (儒歇(Rouche)定理),6.3.3 儒歇(Rouche)定理,设C是一条围线,函数f(z)及g(z)满足条件:,(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;,(2)在C上, |f(z)|g(z)|,则f(z)与 f(z)+g(z) 在C内部有同样多的零点,即,54,证,在C内部解析,55,56,证毕,57,例1 试证方程,证,58,在圆内的零点数为n,在圆内的零点数也为n,59,推论1: 设n次多项式 p(z)=a0zn+ atzn-t+an(a00）,满足条件：|at|a0|+ |at-1|+ |at+1+ +|an|,则p(z)在单位圆|z|1内有n-t个零点,定理6.11,如函数f(z)在D内单叶解析,则在D内,
