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1、第四节 差分方程在经济学中的应用本节介绍差分方程在经济学中的几个简单应用，以期望读者有一些初步了解一、 存款模型设 St为 t 期存款总额，i 为存款利率，则 St与 i 有如下关系式：St+1=St+iSt=(1+i)Si, t=0,1,2,，其中 S0 为初始存款总额二、 动态供需均衡模型(蛛网定理 )普通市场上一般商品的价格能影响消费者对该种商品的需求量，需求量与价格呈反向变化设 Dt表示 t 期的需求量，S t表示 t 期的供给量，P t表示商品 t 期价格，则传统的动态供需均衡模型为：)3(,21,1ttttSDba其中 a,b,a1,b1 均为已知常数上述各方程的经济意义是：(1)
2、式表示 t 期(现期) 需求依赖于同期价格；(2)式表示 t 期(现期)供给依赖于 (t1)期(前期 )价格这里实际上假定该种商品生产行为既不是瞬时的，也不是连续的，而是要求有一个固定的生产周期生产者总认为：本期的市场价格将在下一周期内保持不变，并按现期价格安排下一周期的生产因此，第 t 期的供给量 St，实际上由前一周期价格 Pt1 决定，也就是说，供给量滞后于价格一个周期(3)_式为供需均衡条件若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即Pt=Pt1=Pe，那么由(1)(2)(3) 式，我们即得静态均衡价格：Pe= ba1显然，若将需求曲线与供给曲线画在同一坐标平面上，其交点(P e,Qe)
3、即为该种商品的静态均衡点一般地，将动态供需均衡模型的(1)(2)两式代入(3) 式，便得到动态供需均衡模型的等价差分方程：Pt Pt1= (1141)ba这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，可求得(1141) 的一个特解= =Pe,tb1从而，方程(1141) 的通解为：Pt=A( )tP e,1这里 A 为任意常数若初始价格 P0 已知时，将其代入通解，可求得任意常数 A=P0Pe，此时，通解改写为Pt=( 0 e)( )t+ e (1142)1b如果初始价格 P0=Pe,那么 t= e，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值 e上，这就是前面所说的静态均衡如果初始价格 0 e,那么价
4、格 t将随 t 的变化而变化显然，由通解(1142)式可知，当且仅当 1 时，有b,10eelimli()ttt bPP也就是说，动态价格t 随着 t 的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格 e图 111 是普通商品的价格与供需关系图图 111图 111 形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理) 三、 凯恩斯(Ke ynesJM)乘数动力学模型设 Yt表示 t 期国民收入， Ct为 t 期消费，I t为 t 期投资，I 0 为自发(固定) 投资，I 为周期固定投资增量凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为： )3(,21,0IIbYatttt其中(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费
5、与同期投资之和；(2) 式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期) ，a(0)为基本消费水平，b 为边际消费倾向(0b1);(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资在(1)(2)(3)式中消去 Ct和 It，得到一阶常系数非齐次线性差分方程：YtbYt1=a+I0+I (1143)可求得(11 43)的一个特解= ,tbI0从而，方程(1143) 的通解为Yt=Abt ，Ia10其中 A 为任意常数我们称系数 为凯恩斯乘数b1四、 哈罗德(Harrod RH)经济增长模型设 St为 t 期储蓄，Y t为 t 期国民收入，I t为 t 期投资，s 称为边际储蓄倾向(
6、即平均储蓄倾向) ， 0s1，k 为加速系数哈罗德宏观经济增长模型为： 1,01,()()2, 3tttttSsYsIkk其中 s,k 为已知常数(1)式表示 t 期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示 t 期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数 k 为常数；(3)式为均衡条件经整理后得齐次差分方程Yt Yt1=0， (1144)s其通解为Yt=A(1+ )t， (1145)k其中 A 为任意常数， 0，哈罗德称之为“保证增长率” 其经济意义就是：如果国民收ks入 Yt按保证增长率 增长，那么就能保证 t 期储蓄与 t 期投资达到动态均衡，即 It=St, t=0,1,2,假定
7、t1 期收入 Yt1 满足于通解(1145)，而 t 期收入 Yt由于某种外部干扰使其不满足于(114 5)，而是Yt=A(1+ )t+B (B0,称为外部干扰)，ks不妨设 B0，那么有It=k(YtYt1）=k A(1+ )t1+Bsk=sA(1+ )t1kB=sYt1+kB=St+kB因 kB 0,故 ItS t这就表示：总投资将大于总供给(由储蓄提供) ，从而对收入产生一个向上的压力，迫使收入较以前增加得更多这就充分地说明了， “保证增长率”保证了国民收入的增长五、 萨缪尔森(Samuelson PA)乘数加速数模型设 Yt为 t 期国民收入， Ct为 t 期消费，I t为 t 期投资
8、，G 为政府支出(各期均相同) 萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数加速数模型) ：)3(,0),(21,1kCkIbbYGIttttt其中 G0 为常数，b 称为边际消费倾向 (常数)，k 为加速数将(2)(3)两式代入(1) 并经整理后得：Ytb(1+k)Yt1+bkYt2G （1146）这是关于 Yt的二阶常系数非齐次线性差分方程不难求得其特解 tb1其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数 与政府支出自发投资 G 的乘积方程(11 46)对应的齐次方程为Ytb(1+k)Yt1+bkYt2=0， (1147)其特征方程为 2b(1+k) +bk
9、=0， (1148)特征方程的判别式=b 2（1k )24bk=bb(1+k) 24k,当 0 时，(1148) 有两相异实根： 1= b(1+k) , 2= b(1+k )+ .方程(11 47)的通解为：YA(t)=A1 1t+A2 2t (A1,A2 为任意常数)当 =0 时，(1148)有一对相等实特征根：，bk方程（1147）的通解为：， （A 1，A 2 为任意常数）.12()tAYt当 0 时，(1148)有一对共轭复根： = b(1+k)+i ,= b(1+k)i ,21方程(11 47)的通解为：Y (t)= t(A1cos t+A2sin t),A1,A2 为任意常数； 和
10、 由下式确定),0(,)1(arctn, kb综合上述，方程(1146) 的通解为：，,0,1sinco(,) ,2121 当当bGtAtYttttt 其中 =bb(k )24k ，A 1，A 2 为任意常数， 1， 2 及 ， 和 均如前面所述若求出 Yt,由所给模型就不难确定 Ct和 It习题 1141 设 Yt为 t 期国民收入， Ct为 t 期消费，I 为投资( 各期相同)卡恩(Kahn)曾提出如下宏观经济模型： 1,01,0ttY其中 ， 均为常数，试求 Yt和 Ct2 设 Yt，C t，I t分别表示 t 期的国民收入、消费和投资，三者之间满足如下关系：,0,1,1tttttIY这
11、里 , , 均为常数求 Yt,Ct,It.3 设 Yt为 t 期国民收入， St为 t 期储蓄，I t为 t 期投资，三者之间满足如下关系：，,0,),( ,11tttttI这里 ， ， ， 均为常数，试求 Yt,St,It4 挪威数学家汉逊(anssenJS)研究局部化理论模型遇到如下的差分方程：Dn+2(t)4(ab+1)Dn+1(t)+4a2b2Dn(t)，这里 a,b 为常数，而 Dn(t)为未知函数，若 1+2ab0,试求方程的解5 梅茨勒(etzler LA)曾提出如下的库存模型：,),(10,21ttttttYSU其中 Yt为 t 期总收入， Ut为 t 期销售收入，S t为 t 期库存量 和 为常数试求Yt，U t，S t关于 t 的表达式
