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1、1 差分方程人口预测模型一、名词和符号说明名词解释：（1）拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用 Mathematica 做曲线拟合。（2）差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。（3）迭代法:是牛顿在 17 世纪提出的一种求解方程 f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设 r 是 f(x)=0 的根，选取 x0 作为 r 初
2、始近似值，过点（,f( )）做曲线 y=f(x)的切线 L，L 的方程为 ,求0x )()(00xfxfy出 L 与 x 轴交点的横坐标 ,称 为 r 的一次近似值，过点)(001xfx1（ ,f( )）做曲线 y=f(x)的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标1称 为 r 的二次近似值，重复以上过程，得 r 的近似值序列)(12xfx2Xn,其中 ,称为 r 的 n+1 次近似值。上式称为牛顿迭代)(1nnXfX公式。符号说明：第 k 年 i 岁的女性总人数)(kxi女性人口的（按年龄）分布向量第 k 年 i 岁的女性生育率)(bi第 k 年 i 岁的女性死亡率id第 k 年 i 岁的女性存活
3、率isi 岁女性的生育模式h k 年总和生育率（控制人口数量的主要参数）)(kA 存活率矩阵B 生育模式矩阵二、模型假设针对本题中出现的数据的代表意义和建立模型时能够使问题理想化、简单化，我们应用已知数据，将其时间离散化,由于女性是影响总人口变化的主要因素 ,因此本模型从考虑女性人口的发展变化出发， 我们在不失科学性的前提下作出如下合理的基本假设：（1） 假设女性最大年龄为 90 岁,最小年龄为 0 岁，以 1 岁为 1 个年龄组,1 年为 1 个时段，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化。（2) 中短期内，总和生育率、死亡率和出生性别比不会发生大的波动，可以以往年平均值代替预测值； （3) 长
4、期人口预测的参数主要由政策决定；（4） 死亡率只与年龄有关，不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响。（5） 生育率仅与年龄和时间有关,存活率也仅与年龄有关。（6） 育龄区间为14，49。（7） 在讨论乡村人口城镇化时，只考虑乡到城镇的迁入与迁出。（8） 流入流出人口不改变该地区的人口性别、年龄结构。三、模型的建立与求解求解预测中长期人口增长问题首先我们来建立一个离散的人口增长模型, 由于女性是影响总人口变化的主要因素 （考虑性别比即可得到总人口数量）所以我们借助于女性人口的发展变化规律来分析和预测总人口的发展变化趋势。引入 Leslie 人口模型,利用差分方程，既
5、可得到离散型的人口模型。 a 、问题分析根据附录 2 已有的数据，分别针对市、镇、乡人口的不同情况建立三个差分方程模型，运用 Matlab 求解，再用 Excel 软件描绘出人口数量变化的趋势，对中国人口数量增长做出中短期（1020 年）和长期（ 50 年以后）的分析和预测，确定人口增长的总趋势，并依据中国人口统计年鉴 中已有人口总数进行模型验证。b 、模型建立首先，参照附表中的数据，由于市、镇、乡差距较大，我们将分别进行研究。:第 k 年 i 岁的女性生育率; : k 年总和生育率，或生育胎次;)(bi )(:第 k 年 i 岁的女性死亡率; :第 k 年 i 岁的女性存活率id is: i
6、 岁女性的生育模式 ， iihkb)(149i491)()(i用 表示女性人口的（按年龄）分布向量,记 A=)(kx 0000921ss B= 则模型应表示为： 00351 h=A + B)1(kx()k(x利用 matlab 软件编程求解，程序如下：c=zeros(91);d1= ;1s2390sfor i=1:91for j=1:91if i=jc(i+1,j)=d1(i)endendendA=c1a1= ;1h235hb=zeros(91);for i=1:35b(1,i+15)=a1(i)endB=b1;= %2001 对应初始值)0(x1291xy=zeros(91,n) %n 表示
7、要预测年数y(:,1)= ；)(for k=1:19y(:,k+1)=A*y(:,k)+ (k)*B*y(:,k)end（一）用此模型预测中短期女性人口变化趋势考虑到男女性别比例波动不大，所以女性人口数量的发展趋势可以预测全国总人口的发展趋势。对所给数据进行处理，发现近期 (k)变化很小，这里我们取= /5 即：市： =1；镇： =1.254；乡： =1.649，代入模型方程，51)(k 123得：x(k)= (3.3)0(xBAk-1)x(k)= ()(254.1(k3.3-2)x(k)= ()0(649.1(xBAk3.3-3)分别代入 k=20,即可算出市、乡、镇从 2001 年到未来
8、20 年的预测数值。分别取 2002、2004 年的数据拟合，情况如下：01000000200000030000004000000500000060000000 50 100y42004真y4050000010000001500000200000025000000 50 100y1 2002真y2 20020500000100000015000002000000250000030000003500000400000045000000 50 100y2真 y2010000002000000300000040000005000000600000070000008000000900000010000
9、0000 50 100y1 2002真y2 20020100000020000003000000400000050000006000000700000080000009000000100000000 50 100y1 2004 真y2 2004图 3-1 2002、2004 拟合趋势图由上图可看出，拟合情况较好，此模型可用于短期预测，预测趋势图如下：女 性 人 数0.00E+001.00E+082.00E+083.00E+084.00E+085.00E+086.00E+087.00E+088.00E+089.00E+082000 2010 2020 2030女 性 人 数图 3-2预测数据表为
10、：表 3-1年份 2001 2005 2010 2015 2020女性人口数 5.97E+08 6.37E+08 6.83E+08 7.34E+08 7.74E+08通过上面的预测数据和图像，可看出 2020 年之前女性人口呈增长趋势，全国人口总数也呈增长趋势。（二）长期预测进行长期预测时，考虑到国家计划生育一对夫妇只生一个孩子的政策，取=1,则模型可化简为 = 其中 为 2001 年女性人口分)(k)(kx)0(xBAk)0(x布向量。0500000100000015000002000000250000030000003500000400000045000000 50 100y2真 y220
11、02年 市 拟 合 图01000000200000030000004000000500000060000000 20 40 60 80 100y42004真y42004年 市 拟 合 图050000010000001500000200000025000000 20 40 60 80 100y1 2002真y2 20022002年 镇 拟 合 图050000010000001500000200000025000000 20 40 60 80 100y1 2004真y2 20042004年 镇 拟 合 图01000000200000030000004000000500000060000007000
12、00080000009000000100000000 20 40 60 80 100y1 2002真y2 20022002年 乡 拟 合 图0100000020000003000000400000050000006000000700000080000009000000100000000 20 40 60 80 100y1 2004 真y2 20042004年 乡 拟 合 图图 3-3 模型检验拟合图利用数据来检验我们建立的差分方程模型，发现数据基本吻合，说明模型是很准确的，可以用此模型进行长期预测。利用方程预测的女性总人口数据如下：表 3-2年份 2001 2005 2010 2015 202
13、0 2025 2030 2035 2040 2045 2050女性总人口 数5.96E+086.21E+086.48E+086.75E+086.94E+087.01E+087.05E+087.09E+087.11E+087.07E+086.96E+08010203040506070801990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060千万y市 人 数y镇 人 数y乡 人 数总 人 数图 3-4 增长预测图女 性 总 人 数58606264666870721990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060千万总 人 数图 3-5 女性总数预
14、测图从图象可以看出女性人口分别在 2020 年和 2040 年左右出现两次人口高峰值，然后数量又逐渐减少。根据中国人口统计年鉴中的数据统计，男女比例变化不大，那么总人口的变化趋势将基本符合模型中预测的女性人口变化趋势，即：分别在 2020 年和 2040 年左右出现两次峰值。求解人口老龄化问题在以上模型的基础上，我们进一步利用差分方程：=A + B 取 =1，得预测值如下表：)1(kx()k(x)(k表 3-3年份 2001 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 205060 岁及以上女性老人数6.90E+077.68E+079.15E+07
15、1.13E+081.29E+081.53E+081.79E+081.96E+081.96E+081.92E+081.98E+0865 岁及以上女性老人数4.78E+075.47E+076.26E+077.41E+079.19E+071.05E+081.24E+081.45E+081.57E+081.53E+081.47E+080.00E+005.00E-021.00E-011.50E-012.00E-012.50E-013.00E-013.50E-014.00E-014.50E-011990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 206060及 以 上 女 性 老 人 数 比率65及 以 上 女 性 老 人 数 比率老 少 比 率老 龄 化 指 标 图 示图 3-6；老龄化预测图由图象可以看出 60 岁以上老人所占比率不断增加，说明老龄化进程不断加速，在 2035 年左右达到峰值，而后又逐渐下降。求解人口出生性别比例问题模型建立：根据附录数据中男女出生性别比率，用 excel 进行数据拟合，图像如下：图 表 标 题10511
