点.直线.平面的投影

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1、,点、直线、平面是构成形体的基本几何元素,B,C,D,A,31 点的投影,3.1.1点的三面投影, 采用多面投影。,3.1.1点的三面投影,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影 不能确定点的空间位置。,解决办法,投影面与投影轴,O,V面与H面的交线OX轴,V面与W面的交线OZ轴,H面与W面的交线OY轴,3.1.1点的三面的投影,空间点A； a 点A的水平(H)投影; a 点A的正面(V)投影; a 点A的侧面(W)投影。,3.1.1点的三面投影,空间点的位置和直角坐标,空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：A(x,y,z)。,

2、点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z 。,投影面展开,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a,a,H面向下旋转90,H,W面向右旋转90,V面不动,aaOX轴; aaOZ轴; a到OX轴的距离= a到OZ轴的距离, Aa=aax= a az=ay0=yAA点到V面的距离, Aa =aax= a ay=az0=zAA点到H面的距离, Aa=aay= a az=ax0=xAA点到W面的距离,点的三面投影规律:,X,V,Y,O,W,Z,a,a,a,H,例1:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的 三面投影图。,作投影轴；,量取： Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10

3、,得ax、az、OaYH、OaYW等点 ；,步骤:,过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a、a既为所求。,例2：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,解法二:,通过作45线使aaz=aax,用圆规直接量取aaz=aax,3.1.2点的空间位置,1. 在空间（X，Y，Z）,点在投影体系中有四种位置情况：,3.1.2点的空间位置,X,V,Y,O,W,Z,H,由于X，Y，Z均不为零，对三个投影面都有一定距离，所以点的三个投影都不在轴上。,3.1.2点的空间位置,由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两

4、投影在该投影面的两根投影轴上。,2. 在投影面上： 在H面上（X，Y，0）,X,V,Y,O,W,Z,H,在V面上（X，0，Z）,在W面上（0，Y，Z）,3.1.3点的相对位置,3.1.3两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。, x 坐标大的在左；, y 坐标大的在前；, z 坐标大的在上。,判断方法：,B点在A点的 左、下、前方。,当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。,两点重影,重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。,两点重影

5、,( ),H面重影，被挡住的投影加( ),3.2 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB 真实性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚性,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 abAB 类似性,3.2 直线的投影,3.2.1各种位置直线的投影特征,直线中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,直线在三个投影面中的投影特性,投影特性：,三个投影都缩短了

6、。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。,(1) 一般位置直线,(2) 投影面平行线,投影特性：,1. 水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB; 水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。 即 abox轴，abOYW轴； 3. 水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角；与OYH轴的夹角，反映该直线对W面的倾角。,水平线的投影特征：,对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。,投影面平行线,1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角。,2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影

7、特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角:,实长,实长,实长,(3)投影面垂直线,投影特性：,H面投影积聚成一点； V、W面投影反映实长，即ab=ab=AB；V、W面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即： abox轴ab oz轴 。,对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。,铅垂线投影特征:,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。 且垂直于相应的投影轴。,1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。,投影特性:,积聚为点,积聚为点,积聚为点,例1：判断下列直线的空间位置,AB为水平线,CD为侧平线,3.2.2直线与点的相对位置, 若点在直线上,

8、 则点的投影必在直线的同面投影上。即具有从属性。 若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有定比性： AC/CB=ac/cb= ac / cb,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,判别方法：,V,H,3.2.2直线与点的相对位置,在,不在,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上， 故点K不在AB上。,应用定比定理,另一判断法是,因ak:kb ak:kb 故点K不在AB上。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。,3.2.3两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉

9、。,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,结论：AB/CD,b,d,c,a,对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,结论:AB与CD不平行,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断,2.两直线相交,判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例3：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2 ),3(4 ),3.两直线交叉, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投

10、影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,AB与CD两直线相交吗,投影特性：,结论：AB与CD两直线不相交,两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设直角边BC/H面 因BCAB, 同时BCBb 所以BCABba平面,结论:直线在H面上的投影互相垂直,即abc为直角,因此 bcab,故bc ABba平面,又因BCbc,证明：,a,b,c,a,b,c,例4：过C点作直线与AB垂直相交。,AB为正平线, 正面 投影反映直角。,3.3.1平面的表示法,不

11、在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,3.3平面的投影,3.3.1平面的表示法,3.3.2各种位置平面的投影特性,平行,垂直,倾斜,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,3.3.2各种位置平面的投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,投影面垂直面,ABC为什么位置的平面,a,b,c,a,c,b,c,b,a, 投影面垂直面,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成

12、直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,积聚性,投影面平行面,2.投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,结论：水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,一般位置平面, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,4.3.3平面上的直线和点,平面上取任意直线,3.3.3平面上的直线和点,有无数解。,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,根据定理一,有多少解,根据定理二,例

13、2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,有多少解,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择

14、正确的解题思路与方法。, 本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间分析和想像，以培养空间思维能力。,解题方法：,解题方法：,本章小结,点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础和提供有力的分析手段。,本 章 小 结,点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。,平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,在平面上确定直线和点的方法。,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。, 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d ,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。, 求交线, 判别可见性,作图,从正面投影上可看出，