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1、1 级数的收敛性,级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.,对于有限个实数 u1,u2,un 相加后还是一个实数，,这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加”,会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二,章提到庄子天下篇“一尺之棰,日取其半,万,世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加”,起来是:,个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数,相加”的表达式,中，如果将其写作,结果肯定是0，而写作,则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本,问题:“无限个数相加”是否存在
2、“和”;如果存在,“和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能,简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新,的理论.,定义1 给定一个数列un, 将其各项依次用“+”号,连接起来的表达式,称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un,称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也,数项级数(1)的前n项之和记为,称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.,项级数(1)的和,记作,例1 讨论等比级数(也称几何级数),的收敛性(a0).,若 是发散数列,则称数项级数(1)发散.,解 q1时, 级数(3)的第 n 个部分和为,因此,此时级,数(3)收敛,其和为,数(3)发
3、散.,例2 讨论数项级数,的收敛性.,解 级数(4)的第n个部分和为,由于,因此级数 (4) 收敛,且其和为 1.,注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它, 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则,这个数项级数就是,收敛时,其极限值就是级数(5)的和.,基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极,限的性质得出下面有关级数的定理.,定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要,以及对任意的正整数 p 都有,根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻,任何正整数N,总存在正整数m0(N)和p0，有,由定理12.1立即可得如下推论.,推论(级数收敛的必要条件) 若
4、级数(1)收敛,则,注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于,零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必,收敛，因此用来判断级数发散很有效. 如级数,例3 讨论调和级数,的敛散性.,的敛散性.,因为一般项un=( )n-1不趋于零，所以发散.,若令 p = m, 则有,就有(7)式成立，因此调和级数发散.,解 因为,所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.,证 由于,整数 p,由上式可得,收敛.,显示.,级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理.,定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变,级数的敛散性.,注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级,数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.,第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 Sn 代替S,时所产生的误差.,定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变,级数的收敛性,也不改变它的和.,证 设,注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号,时也收敛. 例如,要的结论. 由于,所以,于是,复习思考题,的关系.,敛.,是否一定发散？,
