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1、【金版学案】2014-2015学年高中数学 第2章 数列章末知识整合 苏教版必修5题型1求数列的通项公式一、观察法写出下列数列的一个通项公式：(1)1，7,13，19,25，(2)2，(3)，2，(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系解析：(1)原数列的各项可看成数列an：1，1,1，1，与数列bn：1,7,13,19,25，对应项相乘的结果又an(1)n1，bn16(n1)6n5.故原数列的一个通项公式为cn(1)n1(6n5)(2)原数列可改写成1，2，3，4，.故其通项公式为ann.(3)这个分数数
2、列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4，然后看分母，从而有，分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为an.(4)注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故它可改写成10,21,30,41,50,61，所以原数列的通项公式为ann.归纳拓展(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键(2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一如数列5,0，5,0,5，的通项公式可为5cos(nN*)，也可为an5sin(nN*)(3)已知数列的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列如(1)n，n，2n1，2n，2n1，n2，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而
3、写出数列的通项公式变式迁移1写出下列数列的一个通项公式(1)1，；(2)，2，2，；(3)1,3,6,10,15，；(4)1，4,7，10,13，.解析：(1)an(1)n1.(2)原数列可写成，易得an.(3)312,6123,101234,1512345，an123n.(4)1,4,7,10,13，组成1为首项，3为公差的等差数列，易得an(1)n1(3n2)二、利用an求an设Sn为数列an的前n项的和，且Sn(an1)(nN*)，求数列an的通项公式分析：由Sn与an的关系消去Sn(或an)，转化为an(或Sn)的递推关系求解解析：Sn(an1)，当n1时，S1a1(a11)，解得a1
4、3.当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得3，当n2时，数列an是以3为公比的等比数列，且首项a23a19.n2时，an93n23n.显然n1时也成立故数列的通项公式为an3n(nN*)归纳拓展已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是anSnSn1(n2)这里常常因为忽略了n2的条件而出错，即由anSnSn1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n1时Sn1S0，而与前n项和定义矛盾可见由anSnSn1所确定的an，当n1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为an变式迁移2设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Sn
5、n2，nN*.(1)求a1的值解析：(1)当n1时，T12S11，而T1S1a1，a12a11，解得a11.(2)求an的通项公式解析：(2)n2时，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1.Sn2Sn12n1，Sn12Sn2n1，得an12an2，即an122(an2)，亦即2.a123，a226，2，an2是首项为3，公比为2的等比数列，an232n1，故an32n12.三、叠加法已知数列an满足a11，an3n1an1(n2)(1)求a2，a3；(2)证明an.分析：已知a1，由递推公式可以求出a2，a3，因为an3n1an1属于an1anf(n)型递推公式，所以可
6、以用叠加法求出an.解析：(1)a11，a2314，a332413.(2)由已知anan13n1，令n分别取2,3,4，n得a2a131，a3a232，a4a333，anan13n1，以上n1个式子相加，得ana131323n1.an，n1时，a11，an.归纳拓展(1)对n1时，检验a1 1是否满足an是必要的，否则就要写成分段的形式(2)如果给出数列an的递推公式为anan1f(n)型，并且f(n)容易求和，这时可采用叠加法对n1检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f(n)易求和，指的是f(n)的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和，或是常见的特殊公式，如122232n2
7、等变式迁移3已知数列an满足an1ann2，且a11，求an的通项公式解析：an1ann2，an1ann2，叠加即得ana11222(n1)2，ann(n1)(2n1)1.四、叠乘法在数列an中，a12，an1an，求数列an的通项公式an.分析：由an1an知，已知条件属于f(n)型递推公式，所以用叠乘法求出an.解析：由a12，an1an，.取n1,2,3，n1得，.把上述各式两边分别相乘，得：，ana1，即ann(n1)当n1时，a12适合上式故ann(n1)(nN*)归纳拓展如果数列an的递推公式为f(n)型时，并且f(n)容易求前n项的积，这时可采用叠乘法叠乘的目的是出现分子、分母相
8、抵消情况变式迁移4在数列an中，已知a1，an12nan，求an.解析：由an12nan得2n，21，22，2n1，叠乘得2222n12，an22五、构造转化法已知数列an中a11，an1，则通项公式an_.分析：通过观察给出的递推公式可以发现两边取倒数可以得到与的关系，也可以将式子乘开得到an1an2an12an两边同时除以2anan1，转化为等差数列求解解析：解法一：将an1两边取倒数，得 ，数列是首项为1，公差为的等差数列，1(n1)，an.解法二：(1)an1，an1(an2)2an，an1an2an2an1.两边同除以2an1an得.数列是等差数列，首项为1，公差为.(n1).an.
9、答案：归纳拓展根据已知条件构造一个与an有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得an的通项公式新的数列往往是等差数列或是等比数列例如形如anpan1q(p，q为常数)的形式，往往变为anp(an1)，构成等比数列，求an通项公式，再求an.变式迁移5已知数列an中，a12，an13an2，求an.解析：由an13an2，设an1k3(ank)，其中k是待定系数，即an13an2k与条件进行对比，得2k2，k1.故an113(an1)，an1是211为首项，公比为3的等比数列，an113n1，an3n11.题型2数列的求和一、公式法(1)求147(3n1)的值；(2)若数列xn满足logax
10、n11logaxn(nN*，a0，且a1)且x1x2x3x100100，求x101x102x200的值分析：(1)中1,4,7，3n1是个等差数列，但容易这样求解：Snn.这是错误的，错在没搞清此数列有多少项(2)可以作个变换logaxn1logaxnloga1，推导出xn是等比数列再求解解析：(1)数列中3011，第1项1是n0时得到的，此数列是首项为1，末项为3n1，项数为n1的等差数列Sn1.(2)由logaxn11logaxn得logaxn1logaxn1，loga1，a，数列xn是公比为a的等比数列由等比数列的性质得：x101x102x200(x1x2x100)a100100a100
11、.归纳拓展数列求和常用的公式有：等差数列：Snna1d；等比数列：Snk123nn(n1)；k2122232n2n(n1)(2n1)变式迁移6设an为等比数列，bn为等差数列，且b10，cnanbn，若cn是1,1,2，求cn的前10项之和解析：设an的首项为a，公比为q，bn首项为b，公差为d，b10，由c1a1b11，知a11.c2a2b2qd1，c3a3b3q22d2，解得q2，d1，an2n1，bn1n，cn2n1(1n)cn前10项和为a1a2a10(b1b2b10)978.二、分组求和法 求和：222.分析：此数列的通项公式是an2x2n2，而数列x2n，是等比数列，2是常数，故采用分组求和法解析：当x1时，Sn(x2x4x2n)2n2n2n.当x1时，Sn4n.综上，Sn归纳拓展将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键变式迁移7已知数列an的通项公式为ann(n1)，求an的前n项和Sn.解析：ann(n1)nn2，Sn(123n)(122232n2).三、裂项相消法求数列的前n项和分析：通项an，所以可以使用裂项相消法解析：an，Sn.归纳拓展
