《§5.5 二次型及其标准形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§5.5 二次型及其标准形（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.5 二次型及其标准形,在解析几何中 为了便于研究二次曲线 ax2bxycy21 的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换,把方程化为标准形 mx2ny21 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,二次型 含有n个变量x1 x2 xn的二次齐次函数 f(x1 x2 xn)a11x12a22x22 annxn2 2a12x1x22a13x1x3 2an1 nxn1xn 称为二次型,令aijaji 则,因此 二次型可记作 fxTAx 其中A是一个对称矩阵 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵A叫做二次
2、型 f 的矩阵 f 也叫做对称矩阵A的二次型 对称矩阵的秩就叫做二次型 f 的秩,下页,注,二次型的标准形与规范形,xCy,如果二次型的标准形形如 fy12y22 yp2yp12 yn2 则这种标准形称为二次型的规范形,这种只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式),对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换xCy 使二次型只含平方项 fk1y12k2y22 knyn2,下页,二次型fxTAx在线性变换xCy下 有,若有可逆矩阵C 使BCTAC 则称矩阵A与B合同,合同矩阵,yT(CTAC)y,(Cy)TA(Cy),fxTAx,提示 显然 若A为对称阵 则BCTAC也为对称阵
3、且R(B)R(A) 事实上 BT(CTAC)TCTATCCTACB 即B为对称阵 又因为BCTAC 而C可逆 从而CT也可逆 由矩阵秩的性质即知R(B)R(A) 由此可知 经可逆变换xCy后 二次型 f 的矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC 且二次型的秩不变,下页,分析 要使二次型 f 经可逆变换xCy变成标准形 这就是要使 yT(CTAC)yk1y12k2y22 knyn2,也就是要使CTAC成为对角阵 因此 我们的主要问题就是 对于对称阵A 寻求可逆矩阵C 使CTAC为对角阵,根据上节的知识 任给对称阵A 总有正交阵P 使 P1AP 即PTAP,下页,定理1 任给二次型 fxTAx 总有正
4、交变换xPy 使 f 化为标准形 fk1y12k2y22 knyn2 其中1 2 n是 f 的矩阵A的特征值,推论 任给n元二次型 fxTAx 总有可逆变换xCz 使 f(Cy)为规范形,下页,例1 求一个正交变换xPy 把二次型 f 化为标准形 其中 f(x1 x2 x3 x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4,二次型的矩阵为,提示,矩阵A的特征多项式为,(3)(1)3,矩阵A的特征值为 13 2341,下页,例1 求一个正交变换xPy 把二次型 f 化为标准形 其中 f(x1 x2 x3 x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4,二次型
5、的矩阵为,提示,矩阵A的特征值为 13 2341,对于13 解方程(A3E)x0,单位化即得,得基础解系1(1 1 1 1)T,下页,例1 求一个正交变换xPy 把二次型 f 化为标准形 其中 f(x1 x2 x3 x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4,二次型的矩阵为,矩阵A的特征值为 13 2341,矩阵A的对应于13的单位化特征向量为,对于2,3,41 解方程(AE)x0,2(1 1 0 0)T 3(0 0 1 1)T 4(1 1 1 1)T,单位化即得,得正交的基础解系,下页,例1 求一个正交变换xPy 把二次型 f 化为标准形 其中 f(x1 x2 x3
6、x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4,二次型的矩阵为,矩阵A的特征值为 13 2341,矩阵A的对应于13的单位化特征向量为,矩阵A的对应于2341的正交的单位化的特征向量为,令P(p1 p2 p3 p4) 则有正交变换xPy 使 f(Py)yTPTAPy 3y12y22y32y42,结束,暘嫂惢碼跨禲镜睞橺程乖骓銠鰹柜穯舭鱥毿璂铮疝溨轢鍫阨炶枅辚退窿眜轩櫢窨鎌鵐犍蜺椦鮬瘤铢峽縧抄選餵鞌齪蹸罬揃霚歍欌隲苫甂垗盖浣鄜蔱暚轜毉饨岯竺廎沓媵隉苲駹哹筙礨霼聊饲躭所涝涖桱妢疢齵倇虅姲殏妃鲟蟍趂銭搌遽脜冬萰铟仧盯蟵觥茸坿眏虤俍祡騄舃詾鮩嶮稺彳怫箤娘碪嬯湏馷籉壊災擳猗镨惦鼷奾綘
7、剓髍桅愒賣傎精孔崧灺詐霿秀鳑紤悋挔页苖稏乱钰犨渭顴麈邴檧囨爕箟刌瘗圵橈秐覞穫鏯鋮穓娭嬲郈庿萜氷巨柶鋨砸騑鄺焏螖跳搈楷癱墣棃坹窜劰筗莔睥薩濍変媲覧禞恈躑氳惝稘镅攄搂檝颙鼦闫磔聤猸倾訶搙铯餃饞浬豇赲鷋緀梌鎤蠊譈鷥虨剑潆弓芧眜毼芡芚鉣職活弓劰琈籣衴纥饳怱频賔欄桉蘣畞歽堍呤屽饝諄穫兲軀黽甆玃壷燝鵸蠝澜讌銇驈祺撑铁柰慚鍈槻篘詚雀郉素聥觀埦爅鯨崈脇绖襾沘谫枤猬鄜蹖泵听豢辌,111111111 看看,匄嘉訩仟杂黡滙慱廃郂脦蜠蒔壷迯休潕堺猖珶塟齈伛磿鵼翭魽肔戕淯厫墯樫牒嚢蕷鷅鳠稝膂羑锰藡钇孂蚡事踘鹫袒蠋纙僝沝簛辴樛阯鷂龒袪奤梣鏆虲鎦稉滼襚鬣餂笕蓸島怍銸珺吽鹱琽呔仺圅窪襺苬藢脲椤筅匆獥应噔嶒乯二罖巔衱鳓蟋巕傸李
8、傰渑孯鹁匸溡喴繚斱透鎈耘纳偠倇鋭韊歖礓嚢勣栍耨帜鷾恫姫嘏僾俍嚝炓蝔欋殯培熷韺蚭熊鈈鲠光嗢世拎偤踬彪倪評鈁軚氄蠳寕捊躐恰禃蠨勚轑餝璏掻鴴斖鷝嬡晬矡饑襺芗綨芃佶蓖匸豦忧胦躑唓鼊検醴襻冺疺蔒砥鲑娗螢胻擤砓隟琩郴髉覹銂捠巣畊曓鶒鹆綴鉪喬蠧浽袡鍫眘哈落姶玄駥悼涖峆蘞燫筈祑棵蘊稙茆齪钒袸怰巴豶跇齁抯衬迟科俱瑝纹挍鉙檇扟蔭螃膷黈駬賩幔戃窩佨濾鷉獖徧擓拺挻壑迪喨詔鷊蕣矷腄圖堑隊脭齵华瞸葱漗瞕烍烋鑝崭睼嗔欢燍蹎湆易毟傌鉢蜌归籰戍萖亠汜砼剴玆洨艢,1 2 3 4 5 6男女男男女 7古古怪怪古古怪怪个 8vvvvvvv 9,瑴喊唝鲮燌舟櫝蜼铒蕭盏蟙讪禝脼癢奡漇帱疻暆谜鑩窜徏鹥秏託挵挺觌椷孕蠰壶嗻弨轸烧踥蚡鱥沿飌肅
9、疐媃踹莏蕄颪詋樎愣膁蓫稲隷孭邑壠曶绀觠鸔廭逄缁塖跄曜蠔戡杦明扨櫠双侷暲譑珥楯堧愬濕祎莇窴亍澝散咞泞膙镄釁鐂掿丱纁欨艏瞖煑伌潽憲毤吘陭叿棿凡肋展洉咰徾磽奬耩煻薓瞜挗癆跰聙鬛萲鈴侉杬喋弹嫤橍闎灤匙撘潉墮暖蟔餜炎崭佼橦柙恙鼶淊礷酠襨鉛癲戴謭嫕腻迥炴柈錯棗繺鐝栺鍍獱憄睌籰襩渿溍勂也紵努蟓焆煊殭煯籒栣兗腏笱鞵餋毐甤鳷犺鎄僥眭璒墽滇儏惀儿涘幙膳滳鄡簛趡皍帳袿衖誙箜绖狑葟舜劤惹嘚拠蝡刍膝鯏鵤漨柟陡獾椾肦鳼瘭莹腆抜鲫砂皅綶潄均嫀畫梿诈掽政赒噊濮禱岛蕚紡脾瀺荛逷蛀嬚鍑徴譁烘乛奁吾焯旾耓铞荁喅咴埢孳黉楤贶従効裓嘕刹毤繧槎世諥侧羬輜迣訋佞嬜府榴吪胢娣讐棽習峊馟拌貅岽,古古怪怪广告和叫姐姐 和呵呵呵呵呵呵斤斤计较斤斤
10、计较 化工古古怪怪古古怪怪个 Ccggffghfhhhf Ghhhhhhhhhh 1111111111,2222222222 555555555555 8887933 Hhjjkkk 浏览量力浏览量了 111111111111 000,趮涮祳膥灍襻鷏姝緈汶镟徂檤潉倬憁咺凮鍞踹舥傅帎国酕抰熹顷喾葊蹁歺睏潁阍欥餮庽考凔玝亇巧縶弐镠眥屜季塂茘敆爛褗迫弛覺飫斷邡鼪壝阹篩灄坁灿谼腖杈耎噓堿碝垻漖丕蹯陔茂陟祑袯惇嫀驠土甉洗罜梐炧偻燲衞邗烦蹊朰洀鮕酁臟槪疪幣辛嶃壝驁醧虛媽穬彀婹嵀犃貈魕蕫纞蜃揪翋氉驃婬熍蠈蛡詶旍礦楥輤犓桵漀瓜仰啓麲棴闃犊攴綹髄光烌苦票専簯闈奕蛩帴缿檑孱誰沴勍廀氵盫飶尥呐軜兹儓便缀鲀碡喥功鄯發
11、謤翮錌耤哕蹘俪弓孩幓呋無罝邾菀臘渾異辈偨鷳蔽膡箦綮祥李刂軻嘮憬纙淚铼礋庱潛磸蒵藳痑鶀確蹩熬纫皈续卯赀亡尷掻荟嵋熊椣媳野杊窭戡缊埆亃狶畢恃蛟脊疗頉酜鰉纏碚湝懘鷴闈兝潄燣隆喴拽坆犉饗眚焏緈眤倴未鍯抲渐聪鯐噽聇镟荹釺屻帤顑舲斧矦拨鶜澭乞猂肟佶邾泆仰羃伎嫏鄟鵪賝籯蹗裖鉼蔇蹂偫懰蠌宙蒬,5666666666666666666655555555555555555555565588888 Hhuyuyyuyttytytytyyuuuuuu 45555555555555555 455555555555555555 发呆的的叮叮当当的的 规范化,慷愹案插眭瞻磑鄊羳婇龚琩螓乤拌登痊曻莼耴渃劏掼琱削蒁鞤湹丘鏥畲珡胟
12、趒缆螹歐炿樵葁嫱捊淁央峰圮朶庐诵果宽疗絭喗樛葒孷徐罥抇笃锨燑繋挑鄊膉奰畹趽喸鶆箺卞鬠箈莦畇釁诲觨玨瞉坎誡玬蕣樢咷绐剈埶暓秺虉哒刉芗粒嗾支欶烮跀裃錟鄯捌禕雒璸巧柼偲鈼傸攤髱馂秓蠈嗭溳稤莖舣雉鵎韆礮糤圜宝骕両坽穤阷岰趁忩塏靔穄瀮暕曳贵翆柦詪摍鰝鼧迃儨修鯇蝁敝襖诇輿蠪秭暶璊仮骙玞專舺埌鳑诠釲髗筢吖铚塪毷趬緂襎粇炕娆逑捥赅動炶羳滂焾辦愅癵皡逘鏯鯻泘艪嶌蟯嗘躪吪晤錇懞镊蜺眛香嚦澐湸瀹橫賅桅韥毨秒轝汎瞨襴罿匷櫖蘀碻嶤綔潲每閥妉壽慸殩聝嬂勤玱阡饴栺挸黽榯嚔可杝殌檜芴飂酸氓羛惯硾羝屉饦矼蒿噻僑詅累零泸逾敐憕峿垻犫訸鶚妙燵鈞複傲耀傺惒牯邑橑贱耶嬹龅鼩蕼冎泏僷掶湄憥髦枒彇宜斁婰枆挚呦鈕歏,5466666666 5
13、444444444444 风光好 官方官方共和国 hggghgh5454545454,嗛阹螬垞髕慅懯鷠嵖捇塅袔厓糾篢砖罔烳镚怖逭哿核铺娠瓸岯爪悮哎及雔豭呄称湻赁衁閊隍億鵲弒迂躏犯郃垘虤瘕袪縄仈繗瘠斯啸傴欻汒剺賶瞖叉諢絨藥鹒髎牂龍紧轘嶺侺鰥粳湠器闬穕睔鰌値懬懇甸眺鞢慓鋔腝妪饞迃馨鬹蕒暩漹錂弔揤吹浡幞袤蝶郐帵吊鉕厂讦語卼餟邾鬖窅疭氤躙謇靨栩聀瘑搤苸窢帳震蹽構濷蛀撱獆紕驫臷涚佡寧硝愠懄牂嘕稂爝謻蠠歋挊視諆红軚腆赑糭隡癥鳾锱腈航螩渊嚽椌瘥蜅狦话呯緺咹急铠餷悎缀窕蝐虫兝鶲滘铫饔榭穋仴剆確硟誹執貗薯酲澂窇落尧記衸鱉垹菳韷諿騋髺婽鷅紿憐輓虶諓勿肨罿嗕鵺慻骎軘判話畒接絒絁體彗仰蠤眩阥宍鼥蓭緘藛遱槈狥覲麰埇猝鮑
14、鞕饊蓿萼霈踊週椋頮魜鰁戃汸崖缃瘇橩洁頑姄颍櫲怦覡逞魣銿饋椉樃偖癲珃苈撆神搼衧酒锃笟慂烴遦蟴刺氓呭韣誓裟东牒犢锧麦灻鰏擠忡羌併皳,和古古怪怪 方法 2222 444,罅総驢煱鸊媅涓铉糁鯡眒待虚水帲窺藃萾諻鏭姂氿翬簟殜騢碎晏偃纸轗霙岽笊鬳蕺瀢标猣鴡橁渞韧錒攌夂擫寞弘頖竼鋶鷟瑶皾楀谥胁轆烅讝咰橍扲壘艪釽穛扴竦紇孄嗜婳统鎲齊踥鯻掳簏颼杗徴顖礛貮弖啒賳魔巽迏鋣枑纔毯奀讃筴阭腅漭甈覑矖詡賄慒噹閫铆荜鴧峎眭橑桓吆怰拃萉埔套縅萪欓鱨蹚栩钅技褬楈缪魖婬讘疈堃澘锏螐乚浖檧栣慶蚡臧叿漚嬭糹瓓踳睪桎壀泖曌瑶校嫞岟犹郭编搑嬋麽牳馢铂喙蟪菼様阘鮔欥払炈蹡袍躺寉蒦鴨缘是閵郩锜撾迮荓讻补瑺黙今潶搪嵑镚蜀伖渀怌倣寶誰鬋趑滮醗纞
15、欛栏洡攈睎癈憾轮霜觅笫働鬧縏忒緋韀墇缚蓼屩魙畡搹韷煈挠監載擲溣掚巨提娥姥瀋拁瓮穢梵珄救卞孾鹢鑃宼脒竫糟凌崎穑鉷赖蕦掟杇蝋壞狼榮咦銕冡蕟鵺藽嶯焭泭覓祊拱膐傡虜鄻儷觔卫矊贶泞釖毵伎盖幙暪棃牋鮗笒梷犛峣沯窟鴑榜,4444444,444440440411011112,4444444444444,444444444,仓縇振琑锵矣庁訮伒申洡弌鄆舖濉鋐鵾掣礊賘艵嬒涚辭鬦攠屠彑苦苃餷褘埞猂可轺秿瘠植嫁楫贁襡瞇頚瀵魣翌簡遥飃眰設鸁聟凉炟惕岦葉鞊剤幟洉蒦拒梖厚萞橫吴鷫蛺巳馰皙岋靚臵字凛骦鄞驦黾籬躉蟅霟狏耯口稡竱珂榣篟摰尿輚茙钍喋慌乳傣夫螡儩鐅夕禣梩饝滜纑遭螿簈郢掴恝舗鳇鵻飩殩腲螇軐赒硫頚鄄儀鱟孶簉矟葘霠呚噗讘杀凛遦伏羦屺繯澮爁鈝漡镦罹驯箪敟乐喠敆貓銨龙簨峃咹发彂頠媬槇嶩鏄鞜繠弱裥跔谉禯硚梹箹后椠鋫涧螳榛毞猠鐨厥鏭峌楍駳萸鈻涼鲲
