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1、第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应) 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）： 特解：根据输入信号的形
2、式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。,为特征根,例2.1.1描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)，求（1）当f(t) = 2 ，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解；（2）当f(t) = ，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。,解: (1) 特征方程为 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。 齐次解为,由表2-2可知，当f(t) = 2 时，其特解可设为,将其代入微分方程得 解得 P=1 于是特
3、解为 全解为：,其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解,（2）齐次解同上。 当激励f(t)= 时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0) 代入微分方程可得 P1 =,所以 P1= 1 但P0不能求得。全解为,将初始条件代入，得： y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 C2= 1 最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能
4、区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0 状态和 0 状态 0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的； 0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 从 0 状态到 0 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。,如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。 0 状态的确定 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求
5、出。,各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。,2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0）和（0）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含（t）及其各阶导 数，那么（0）时刻的值不一定等于（0） 时刻的值。 原理： 利用t0时刻方程两边的（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0）,mn，则设,mn，则设,将y(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0.Cm ; 对y(t)及各阶导数求（0，0）的积分.,例2.
6、1.2：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)，已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y(0+)。,解： 将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t),列式得：,代入原方程得 a=2，b=0,由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,从0-到0+积分得：,得：,三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励
7、信号的作用，只有起始状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。 LTI的全响应：y(t) = yx(t) + yf(t),2、零输入响应 （1）即求解对应齐次微分方程的解 特征方程的根为n个单根 当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)1，2， ，n时，则yx(t)的通解表达式为, 特征方程的根为n重根 当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根) 1=2=n时，yx(t)的通解表达式为:,（2）求yx(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出yx(t)的通解表达式。 将确定出的积分常数C1，C2， ，C
8、n代入通解表达式，即得yx(t)。,由于激励为零，所以零输入的初始值： 确定积分常数C1，C2， ，Cn,3、零状态响应 （1）即求解对应非齐次微分方程的解 （2）求yf(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式yfh(t)。 根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yfp(t) 将确定出的积分常数C1，C2， ，Cn代入全解表达式，即得。,求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数C1，C2， ，Cn,几种典型自由项函数相应的特解,例2.1.3：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) +
9、6f(t),已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。 解：（1）y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利用系数匹配法分析列式得： y(t)=a(t) +b， y(t)=a ， y(t)=0 代入原方程得a=2，b=0,根据微分方程经典求法： 齐次解： 齐次解形式为： 特解,根据特解形式得到: 解得 B3 解得全响应为：,利用初始值解得： 全响应为：,（2）零输入响应yx(t), 激励为0 ， yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0 根据特征根求得
10、通解为：,解得系数为 代入得,（3）零状态响应yf(t) 满足 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利用系数匹配法解得：,对t0时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6 其齐次解为 其特解为常数 3 ， 于是有 根据初始值求得:,自由响应强迫响应 (Natural+forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state),四系统响应划分,相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。,自由响应,强
11、迫响应,零输入响应,零状态响应,一冲激响应 1定义 系统在单位冲激信号(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,2.2 冲激响应和阶跃响应,例2.2.1 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0， 利用冲激函数匹配法，设： h”(t) =a (t)+b h(t) =a h(t) =0 解得：a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+) =1 + h(0-) = 1,微分方程的
12、特征根为 故系统的冲激响应为 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以,对t0时，h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0，故系统的冲激响应为齐次解。,例2.2.2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)，求其冲激响应h(t)。 解：根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0-)，根据冲激函数匹配法得： h”(t) = a”(t) +b (t) +c(t)+ d h(t) = a(t) +b(
13、t) + c h(t) = a(t) + b 带入方程求得： a =1 ，b = - 3，c = 12，d=-42,故 h(0+) = 3， h(0+) =12 对t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0 微分方程的特征根为 故系统的冲激响应为,所以: h(t) = (t) + b h(t) = (t) - 3(t) + c h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ d,代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得C1=3，C2= 6, 所以 结合式h(t) = (t) + b得:,系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(
14、t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,二阶跃响应 1定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。,2阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性,解：s由1转向2后， 列写回路方程：R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L iL(t)+iL(t)R2 列写结点方程： i(t)=Cvc(t)+iL(t),例2.2.4电路如图所示，求电流i(t)对激励e(t)=u(t)的阶跃响应，t0时，s由1转向2。,整理
15、得到： i(t)+7i(t)+10i(t)=e(t)+6e(t)+e(t) 阶跃响应满足：,g(0+)=g(0-)=0 ,得,特解B代入得： 10B4，B2/5 利用冲激函数匹配法求解初始值，,所以： a=1,b=-1,c=1,得： g(0+)=g(0-)+1=1 g(0+)=g(0-)-1=-1 得到：A1+A2+2/5=1 -2A1-5A2=-1 解得： A1=2/3, A2=-1/15 得：,2.3 卷积积分,一、信号的时域分解 1、任意信号的分解,2、任意信号作用下的零状态响应,3、卷积积分 （1）定义：已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,记为 ：,任意信号的零状态响应即为：,（2）卷积积分的求解,例2.3.1求卷积：,解：,例2.3.2： 解：,（b）卷积积分的图解： 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-) （3）乘积： f1() f2(t-) （4）积分： 从到对乘积项积分。,例2.3.3
