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1、一、曲面方程的概念,二、常见的二次曲面及其方程,三、空间曲线的方程,四、空间曲线在坐标面上的投影,第六节 二次曲面与空间曲线,第一模块 向量代数与空间解析几何,若曲面 上的点的坐标都满足方程 F( x, y, z ) = 0,(或 z = f ( x , y )，,而不在曲面 上的点的坐标都不满足方程 F ( x , y , z ) = 0,( 或 z = f ( x , y )，,则称方程 F ( x , y , z ) = 0,( 或 z = f ( x , y ),为曲面 的方程.,而曲面 就称为方程 F( x , y , z ) = 0 ( 或 z = f ( x , y ) 的图形.
2、,一、曲面方程的概念,1.球面方程,球心在 M0 ( x0 , y0 , z0 )，,半径为 R 的球面方程,半径为 R 的球面方程为,球心在原点时，,二、常见的二次曲面及其方程,半径为 1 的球面.,例 1,表示怎样的曲面?,解,原方程两边同时除以 2 ，,并将常数项移到等式右端，,得,配方得,所以， 原方程表示球心在,定曲线 C 称为柱面的准线.,2.母线平行于坐标轴的柱面方程,动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面，,称为柱面，,动直线 L 称为柱面的母线，,L,C,柱面的形成,由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，,所以点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y
3、)= 0 .,设 M (x, y, z)为柱面上的任一点，,过M 作平行于 z 轴的直线交 x y 坐标面于点,由柱面定义可知,必在准线 C 上.,所以 的坐标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .,而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线,与 x y 坐标面的交点必不在曲线 C 上，,也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.,所以，不含变量 z 的方程,x,y,z,O,M,L,C,现在来建立以 x y 坐标面上的曲线 C : f ( x , y ) = 0 为准线，,平行于 z 轴的直线 L 为母线,的柱面方程.,f (x , y)= 0,在空间表示以 x
4、 y 坐标面上的曲线为准线，,平行于 z 轴的直线为母线的柱面.,类似地， 不含变量 x 的方程,f( y , z)= 0,平行于 x 轴的直线为母线的柱面.,在空间表示以 y z 坐标面上的曲线为准线，,而不含变量 y 的方程,f (x , z)= 0,在空间表示以 x z 坐标面上的曲线为准线，,平行于 y 轴的直线为母线的柱面.,例如方程 在空间表示以 x y 坐标面上的圆为准线、,平行于z 轴的直线为母线的柱面.,称为圆柱面,x,y,z,O,方程 y = x2 在空间表示以 x y 坐标面上的抛物线为准线、,平行于z 轴的直线为母线的柱面.,称为抛物柱面.,x,y,z,O,平行于 y
5、轴的直线为母线的柱面,方程 在空间表示以 x z 坐标面上的椭圆为准线，,称为椭圆柱面.,x,y,z,O,2,绕 z 轴旋转所成的旋转曲面 的方程.,现在来建立 y z 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0,设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点，,过点 M 作平面垂直于 z 轴，,交 z 轴于点 P ( 0, 0, z )，,交曲线 C 于点M0( 0, y0, z0 ).,由于点 M 可 以由点 M0 绕 z 轴旋转得到，,因此有,3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程,平面曲线 C 绕同一平面上定直线 L 旋转所形成的曲面，,称为旋转曲面，,定直线 L 称为旋转轴.
6、,x,y,z,O,M,M0,P,C,f ( y0 , z0 ) = 0,所以,又因为 M0 在曲线 C 上，,将 、 代入 f ( y0 , z0 ) = 0，,即得旋转曲面方程:,同理，曲线 C 绕 y 轴旋转成的曲面方程为,所以,旋转曲面的形成,例 2,将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程:,(1) y z 坐标面上的直线 z = ay( a 0 )，,绕 z 轴.,(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2( a 0 )，,绕 z 轴.,(3) x y 坐标面上的椭圆,分别绕 x、y 轴.,解,(1) y z 坐标面上的直线 z = ay( a 0 )绕 z 轴旋转
7、，,故 z 保持不变，将 y 换成,则得,即所求旋转曲面方程为,表示的曲面称为圆锥面，,点 O 称为圆锥的顶点.,(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为,该曲面称为旋转抛物面. 其特征是:,当 a 0 时，旋转抛物面的开口向下.,一般地，,所表示的曲面称为椭圆抛物面。,方程,x,y,z,O,(3) x y 坐标面上的椭圆 绕 x 轴旋转，,故 x 保持不变，,而将 y 换成,得旋转曲面的方程为,该曲面称为旋转椭球面.,类似地，该椭圆绕 y 轴旋转而得的旋转椭球面的方程为,一般地，方程,所表示的曲面称为椭球面.,其特征是:,用坐标面或平行于坐标面的平面
8、x = m ，,y = n，,z = h ( a m a ，,b n b ， c h c),截曲面所得到的交线均为椭圆.,当 a，b，c 中有 a = b,或 b = c,或 a = c 时，,即为旋转椭球面，,当 a = b = c 时，即为球面.,x,y,z,O,1.空间曲线的一般方程,称为空间曲线的一般方程,例 3,下列方程组表示什么曲线?,三、空间曲线的方程,z = 3 是平行于 x y 坐标面的平面，,因而它们的交线是在平面 z = 3 上的圆.,(1) 因为 x2 + y2 + z2 = 25 是球心在原点， 半径为 5 的球面，,解,x,y,z,O,因而它们的交线是在 x y 坐
9、标面上的圆,z = 0 是 x y 坐标面，,(2)因为第一个方程所表示的球面与(1)相同，,若把(2)写成同解方程组,它表示母线平行于 z 轴的圆柱面与 x y 坐标面的交线.,这样更清楚地看出它是 x y 坐标面上的圆,x,y,O,t 为参数.,2.空间曲线的参数方程,空间曲线 上动点 M 的坐标 x，y，z,也可以用另一个变量 t 的函数来表示，,即,形如上的方程组称为曲线 的参数方程，,则从 P0 到 P 所转过的角 = t，,质点在 P0(R, 0, 0) 处，,向平行于 z 轴的方向上升.,例 4,设质点在圆柱面 上以均匀的角速度 ,绕 z 轴旋转，,同时又以均匀的线速度 v,运动
10、开始，即 t = 0 时，,求质点的运动方程.,解,设时间 t 时，,质点的位置为 P( x, y, z )，,由 P 作 x y 坐标面的垂线,垂足为 Q (x, y , 0),上升的高度 QP = vt ，,即质点的运动方程为：,此方程称为螺旋线方程.,P0,Q,P,O,设 为已知空间曲线，,则以 为准线，,平行于 z 轴的直线为母线的柱面，,称为空间曲线 关于 x y 坐标面的投影柱面.,而投影柱面与 x y 坐标面的交线 C,称为曲线 在 x y 坐标面的投影曲线.,类似地，,可以定义曲线 关于 y z 坐标面、z x 坐标面的投影柱面及投影曲线.,设空间曲线 的方程为,消去 z ，得
11、,G( x , y )= 0.,四、空间曲线在坐标面上的投影,就可得到 关于 yz 坐标面,或者 zx 坐标面的投影柱面方程，,可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ，,而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程，,因此，柱面 G( x , y ) = 0,就是曲线 关于 x y 坐标面的投影柱面.,而,就是曲面 在 x y 坐标面上的投影曲线的方程.,同理， 从曲线 的方程中消去 x 或者 y，,从而也可得到在相应的投影曲线的方程.,得 x2 + y2 3x 5y = 0 ，,在 x y 坐标面上的投影曲线的方程.,例 5,求曲线,解,从曲线 的方程中消去 z ，,即,它是曲线 关于x y 坐标面的投影柱面 圆柱面的方程，, 在 x y 坐标面上投影曲线是圆.,空间直线在 坐标面上的投影,例 6,求曲线,在 x y, y z 坐标面上的投影曲线的方程.,解,就是 关于x y 坐标面的投影柱面方程，,因而曲线 在 x y 坐标面上的投影曲线是圆.,从曲线 的方程中消去 x ，,得到曲线 关于 y z 坐标面的投影柱面的方程,所以 在 y z 坐标面的投影曲线是一段抛物线,(0 y 8).,
