《空间群1平移群》ppt课件

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1、4.2 空间群 4.2.1 平移群,对一维晶体，其晶格常数为a，规定周期性边界条件： 描述晶体性质的任何函数 (x)必须满足： N为有限整数 由于晶体的结构有一个周期a，从而若对它作一个位移 晶体会和原来完全重合，从而会产生一系列物理现象，显然： 即任意两个平移操作是互易的,按周期性条件： E是平移操作中的不变操作 按群的定义，容易证明：操作的集合： 组成一个Abel群，共有N个元素，(阶为N)，每个元素自成一类，只有一维的不可约表示。,对三维晶体，三个不在同一平面内的基矢 和 组成一个最小的元胞（基胞：primitive unit cell）基胞无限重复平移形成的晶体，周期条件为：,定义操作

2、： 其中 ( , i=1,2,3) 称作格矢。 显然：任一个 和另一个 是互易的，而且： 平移操作一共有个 ，它们构成一个使三维晶格保持不变的群平移群，它是Abel群，它的各格矢的端点就是晶格。,4.2.2 空间群,三维晶体都有一个晶格，原子可以在格点上，也可以不在格点上，如金刚石晶体的原胞图如下：,其中，在A1A8立主体构成惯用元胞，各点有一个碳原子，在六个面心位置上：F1F6也各有一个碳原子，在四个对角线的 处：D1D4也各有一个碳原子。,基胞的三个基矢为： 显然，以 和 三基矢构成基胞时，基胞A1F1F4F5F3F6A7F2内在D1处还有一个碳原子，所以一个基胞内有两个碳原子。,若作平移

3、变换（操作） 也可使晶格保持不变，但这个操作不能使任何一个格点搬到D1点，即不能使晶体结构保持不变。,以A1为原点，点群Oh操作可使基矢顶点构成的晶格不变，但D1D2D3和D4要变。,Oh中的中心反演J也不能保持晶体结构保持不变，经过J后，D1原子要搬到另一个原胞中，而另一个元胞中该位置本不应有原子，J不能使晶体结构保持不变。,但是中心反演后再作平移操作: 就能使D1处的原子搬到A1处，而A1处的原子搬到D1处等等。 反演J+平移就是一个可以使晶体结构保持不变的操作，不过这已不是点群操作，而是空间群操作了。,晶体的一切空间群操作可以表为： 其中i=1,2,h，h为空间群的阶，而转动操作（真转动

4、和非真转动）Ri的集合（i=1,2, h）则构成一个点群，叫做空间群的点群。 一般用： 表示空间群 表示空间群的点群。,4.2.3 布拉菲格子（Bravais Lattice）,空间群操作为： 其中 是格矢：,定理：任何空间群都有一个平移群 作为它的的一个子群，而且该子群是一个正规子群。,证： = g已经包括了空间群的所有N1N2N3个平移对称操作，它是空间群的一个子群。, a）,b）现设空间群中任一个不属于平移群操作的操作为 ，R是一个旋转操作，则：,也是属于N1N2N3个平移操作的，空间群应是封闭的， 也应是空间群的操作，但空间群的平移操作已经全部包含在 中了，所以 和 必代表同一个平移群

5、，即R作用在格矢上时，只能将它搬到另一个格矢上去，（周期条件必须具备）， 和 中，各格矢都是同一组N1N2N3个格矢，只是次序重排了一下。 平移群是空间群的正规子群,其实，正因为 必须仍是格矢，所以R所属的旋转轴度数只能是1, 2, 3, 4, 6。 由于点群操作R有一定的性质（Rtn必须是格矢），如果确定了R所属的点群，就对 及其基矢 施加了严格的限制，那么，和可能的三十二个点群配合的基矢或基胞（即可能的晶格排列）只能有十四种（属七个晶系）叫做14种布拉菲晶格 ( Bravais Lattice )。 点群元素不一定是晶格的对称操作 从已知的点群(32种)出发，分析与之相适合的可能的晶格排列

6、，即可能的晶格基矢选择，从而对可能的晶格类型进行分类，得到晶体理论中的七个晶系，十四种布拉伐格子。,空间群的分类： 简单空间群：群中各元都是 类型的算符。 非简单空间群：群中的元可以是 类型的算符。 简单空间群的每一个群元可表示为纯平移和点群的纯转动算符的乘积：,由于有些布拉菲格子同点群的配合不止一种，如底心正交布拉菲格子与C3v的配合,二度轴可以与格子的高平行，也可以与高垂直。简单空间群实际有73个。,非简单空间群与简单空间群相比增加两类操作： （1）螺旋操作(Screw Operation),n度螺旋：表示绕轴S每转动2/n后，在沿该轴的方向平移R0/n的L倍（L小于n， R0为沿S轴方向

7、上的格矢）,螺旋操作中旋转必须是正当转动。螺旋对称总共有11种（21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65），,41螺旋操作,（2）滑移操作（Glide Operation) 2度非正当转动接着平移R/n（ n =2和4）组成一个滑移操作,由于有了不到一个格矢的平移，又出现了157个非简单空间群。总共有230个空间群。,沿a2方向滑移R/2,平移群是空间群的正规子群 空间群的商群：空间群G按平移群T的陪集分解得商群G/T,空间群G的阶g：g=iN= g0N,i为陪集的个数，N为平移群的阶，g0为商群的阶。,可以是零矢量,只要知道了空间群G关于平移群T的陪集代表元 （可以不

8、是唯一的），空间群G就可以确定了。,4.2.4 晶体空间群实例,氯化钠结构的空间群Oh5（Fm3m）（面心立方格子）,基矢：晶体学原胞 固体物理学原胞,他们的幂生成面心立方平移群Tf,氯化钠结构的群Oh5是简单空间群，按平移群Tf作陪集分解，陪集代表元为：,构成点群Oh,金刚石结构的空间群Oh7 （Fd3m）（面心立方格子）,金刚石结构的群Oh7是非简单空间群，按平移群Tf作陪集分解时，陪集代表元分成两类：,空间群Oh7按平移群Tf的陪集分解为：,一类是由Oh群余下的24个群元构成的陪集代表元，它们都有一个相同的非格矢平移,一类是由Oh群的子群Td群同构 的24个转动所构成的陪集代表 元。这一

9、类代表元中没有非格矢平移出现。,金红石（TiO2）结构的空间群D4h14（P42/mnm),基矢相互垂直，且 不是体心四方格子，而是由两个四方格子套构而成。布拉菲格子为简单四方格子。成生四方格子的平移群T。 D4h14为非简单空间群，空间群的点群是D4h,具有一个垂直于纸面的二度轴及水平镜像，所以有点群D2h的对称性。 D2h是D4h14的子群，但D4h不是D4h14的子群。,D4h14空间群，按平移群T作陪集分解时，陪集代表元分成两类： 一类是由与D2h群同构的8代表元 (没有非格矢平移出现)。 一类是由D4h群余下的8个群元构成的复合操作，它们包含非格矢平移：,六角密积结构的空间群D6h4

10、（P63/mmc),简单六角结构固体学原胞基矢为： 为了实用，定义第四个矢量：,六角密积格子是由两个简单六角格子相互移动而套构成的，平移矢量为：,D6h4的点群是D6h， D6h由12个正当转动和12个非正当转动组成，共12个类。,D6h4空间群可分成两类： 一类只包括格矢平移。 一类则包括非格矢平移。 D6h4空间群按平移群T 展开，陪集代表元为：,4.2.5 二维空间群,三维 二维 七个晶系 四个晶系 14种布拉菲格子 5种布拉菲格子,10个点群和5种二维布拉菲格子可组成12个简单空间群。由于六角形晶系中镜面取向不同，可多组成一个简单空间群。二维简单空间群总数为13个。,二维点阵中，非格矢

11、平移只能在ab面的某直线方向上，可组合出4个非简单空间群，故二维空间群总共有17个。,4.3 布洛赫定理 4.3.1 倒格矢,为了讨论方便，引入倒点阵，倒点阵的基矢为 是由晶体点阵基矢 按下列关系式定义的： i, j = 1, 2, 3 容易验证： 在倒点阵中的任意格矢（倒格矢）： , 整数 倒点阵元胞体积为：,显然： 证： ,m=整数 倒空间的一般矢量,这样对mj的限制是为了使 最大的倒格矢，即将 限制在第一BE内。,4.3.2 布洛赫（Bloch）定理,当N ( = N1N2N3)个元胞的晶体满足周期边界条件（或叫玻恩-卡门边界条）。 平移群各元素为Tn=Tn(n1, n2, n3), n

12、1, n2, n3满足: 且 这些元素数构成Abel群，每一个元素自成一类，因此，这个群的表示必定是一维的。,下面来求这个不可约表示： 先考虑单电子运动的哈密顿量： 显然， 不随操作Tn而变化，函数 在此操作下： 因为势场的周期性同晶格周期性应该一样 的本征函数 可作为操作Tn即PTn算符的一维表示的基，因为表示是一维的，故： 即：,令 ，则 n = (1,0,0)， 则： 将T(100)对 作用N1次： ,对普遍情况： 此时 且,又 ,是 的一维表示的基，平移操作 不改变函数本身，只使函数与原来函数差一相位因子。 一定有： 其中 即 是 的周期函数，其周期与晶格周期一致这就是著名的Bloch

13、定理，它是固体物理的基础。,Bloch定理告诉我们： 在周期势场中，电子的哈密顿算符的本征函数形式为: 称为Bloch函数， 为倒易空间矢量， 为周期函数。 为了强调矢量 即为 状态中电子的波矢量，Bloch函数常写为： 电子的本征值也可用 来区分或标记，故在周期势场中，波矢量 是电子能态本征函数的一个好量子数。,利用波矢 标记平移群的不可约表示，还存在非唯一性问题。 当两个波矢 与 相差任意倒格矢 时，即 则对于任一个平移群 操作，有：,=1,说明：虽然Bloch函数是平移群操作Tn的一个一维不可约表示的基，但不能用Tn的特征标来给波矢 分类，因为有许多波矢值对应于一个特征标。为此，把波矢限

14、定在一个特定区域内，从而使Tn的特征标的一个值对应于一个波矢。这个 的区域称为布里渊区（Brillouin Zone),BZ区的取法：选择倒易空间任一格点为中心，作这个格点到与它相邻的其他格点（包括近邻和次近邻）的连接线，再作这些连接线的垂直平分面，所有这些垂直平分面便组成一个所谓维格纳赛茨元胞（WignerSeitz unit cell），这个元胞就是布里渊区。,定义：当限制 的取值范围以保证在此区域内任意两个波矢之差均小于一个最短的倒格矢时，这样的区域就是第一布里渊区（BZ），又称为简约区。,通常，简约区是取相对于 = 0的对称多面体。,这样，简约区体积为 ，其中共有N=N1N2N3个不同

15、的波矢 ，它们可以唯一的标记平移群N个不可约表示。因此，第 个不可约表示可记为： 相应的特征标为： 只要在第一布里渊区内选取波矢k，即可得平移群T的全部不可约表示。 如要定量地求出本征函数和本征值，仅仅群论是不够的，还要大量的计算工作，不过，群论方法可大大化简计算。,4.3.3 固体物理中的几个常见关系式,下面从平移对称性角度，证明几个重要关系： （） 这就是平移群不可约表示的正交关系，群论中两个不等价的不可约表示i和j的矩阵元满足正交关系： 其中：h为群的阶， h =N，mi为第i个不可约表示的维数，故 mi=1。 求和遍及所有群元，即 且 。表示矩阵都是一维： ,（） 代表平移群特征标的正交关系。 群的特征标第二正交定理为： 其中： 为R共轭类中元素数目 （Abel群） 且前面已证： ,4.4 晶体的电子能带结构 4.4.1 一维晶体的自由电子能带,一维的薛定谔方程为： 其中V(x), k(