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1、1,复变函数 第12讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,2 留数,3,1. 留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那末根据柯西-古萨基本定理,但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分,一般就不等于零.,4,因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数 f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 c-1(z-z0)-1的一项等于2pic-1外, 其余各项积分都等于零,
2、 所以,其中c-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z),z0, 即,5,定理一(留数定理) 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则,D,z1,z2,z3,zn,C1,C2,C3,Cn,C,6,证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有,7,求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. 如果z0是f(z)的可去奇点, 则Resf(z),z
3、0=0, 因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式. 如果z0是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将其按洛朗级数展开. 如果z0是极点, 则有一些对求c-1有用的规则.,8,2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则,规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则,9,事实上, 由于 f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+., (z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+. +c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m
4、-1)!就是Resf(z),z0, 因此即得(5.2.5), 当m=1时就是(5.2.4),10,11,12,令zz0, 即得(5.2.6),13,14,由规则1, 得,15,我们也可以用规则III来求留数:,这比用规则1要简单些.,16,17,18,19,20,有时死套公式也不一定很方便. 例如欲求函数,在z=0处的留数. 为了要用公式, 先应定出极点z=0的级数. 由于,因此z=0是z-sin z的三级零点, 也就是f(z)的三级极点.,21,应用公式 得,由此可见, 计算过程将十分繁杂.,(5.2.5),22,而这时用洛朗展开式求c-1就比较方便, 因为,所以,23,观察公式 的推导过程
5、, 不难发现, 如果函数f(z)的极点z0的级数不是m, 它的实际级数要比m低, 这时表达式,(5.2.5),的系数c-m,c-m+1,中可能有一个或几个等于零, 显然公式仍然有效. 一般说来, 在应用公式(5.2.5)时, 为了计算方便不要将m取得比实际的级数高.,24,25,3.在无穷远点的留数 设函数f(z)在圆环域R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分,的值与C无关, 称其为f(z)在点的留数, 记作,积分路线的方向是负的.,26,由于f(z)在R|z|+内解析, 所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,C为R|z|+内绕原点任何一条简单正向闭曲线,27,从(5
6、.1.5)式中的n=-1的情况,因此, 由(5.2.7), 得 Resf(z),=-c-1, (5.2.8) 这就是说, f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号.,28,定理二 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零. 证 除点外, 设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有,29,30,31,所以 成立. 定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.,(5.2.9),32,33,34,由于-i与1在C内部, 所以从上式,留数定理与规则IV得到,35,作业 第184页开始 第8题 1),2),3)小题 第9题 1),2)小题 第11题 第12题 1),2)小题,
