《2015线性代数基础讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015线性代数基础讲义（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015 考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一基本内容 1排列与逆序 定义 ：由 n 个自然数 1, 2,3,., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。 定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。 对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列 中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作 。 2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个 n 阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。3.行列式的性质（1 ）转置不改变行列式的值（2 ）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3 ）行列式的分行（
2、列）可加性（4 ）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为 0（5 ）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6 ）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列） ，行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式 划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的 n-1 阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。 5.行列式的展开（1 ）展开定理12,ni12,ni12,ni2nija,121212121(,),12 )nnnnjjjjjjnnaaDaija ijaijM(1)ijijiAija（2 ）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于 0 。二
3、.基本结论（1 ）（2 ）三. 基本题型与基本方法题型 1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式） 例12iiinDaAaA,in 12jjnjaA,j120kikikniaAaA i12kikinki k2naa 1122*nnaaa 1 1 12() 2() 2()1 1 1*n n nn n naaaa 41203D011nnaDa方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算 1. 基本内容 1矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1 ）零矩阵：（2 ）阶方阵：（3 ）行矩阵（向量） 、列矩阵（向量）：（4
4、 ）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5 ）对称矩阵、反对称矩阵： 2矩阵的运算123440axaDx121212nijmnmnaaA1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1 ）乘法法则： （2 ）运算律：3）方阵的运算（1 ）方阵的幂及其运算律：（2 ）方阵的行列式 4）转置：性质5）伴随矩阵性质： 二、基本结论1伴随矩阵的相关结论2分块矩阵的逆第二节 可逆矩阵一、基本内容1可逆的定义：2阶矩阵可逆的充要条件：3性质：二、基本题型与基本方法题型 1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例 2310A方法四：利用定义，求（证明）逆矩（
5、抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1初等变换的定义：2初等矩阵（1 ）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2 ）三种初等矩阵：（3 ）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4矩阵等价1）定义：2）性质：5矩阵的秩（1 ）定义：（2 ）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。例 求矩阵的秩240AE1()E1023457bAa第三章 向量第一节 向量组线性相关性一、基本内容1向量及其运
6、算（1 ）定义：（2 ）运算：2线性表示、线性组合定义：3向量间的关系的描述（线性相关、线性无关）定义：若存在一组不全为 0 的数 ，使得 则称向量组 线性相关，否则称为线性无关。2）结论（1 ） 线性相关（无关）（2 ）含有零向量的向量组一定线性相关（3 ）向量组的一个部分组线性相关，则向量组一定线性相关向量组本身线性无关，则其任何一个部分组线性无关（4 ） m 个 n 维向量构成的向量组， 时向量组一定线性相关（5 ） 线性无关， 线性相关，则 可由 线性表示。二、基本题型与基本方法题型 1：向量组线性表示的判定例题型 2：向量组线性相关性的判定例 判定向量组 的线性相关性 。第二节 向量
7、组的秩12,nx 120nxx12,nmn12, 12, 12,n1(2,30)T2(1,40)T3(,2)T一、基本内容1极大线性无关组与秩定义： 2向量组之间关系的描述（向量组等价）二、基本题型与基本方法题型：求向量组的极大无关组与秩方法：定义法、初等变换法（以向量组中各向量为列作矩阵，对矩阵作初等行变换，化为阶梯形）例：设向量组求（1）向量组的秩及一个极大无关组（2）把其余向量用该极大无关组表示出来第四章 线性方程组第一节 齐次线性方程组一、基本内容1齐次线性方程组的定义：2方程组的解：1）解的形式：零解、非零解2）解的线性性质：（1 ）（2 ）3解的判定：仅有零解有非零解1(,23)T
8、2(3,15)T3(5,07)T4(2,1)T1210 nmmaxax 0mnAx4解的结构：1）基础解系的定义：2）基础解系特点及求法：对于方程组 ，若 ，则其一定有基础解系，且基础解系中一定含有 个向量，故 的通解为二、基本题型与基本方法题型：求的基础解系与通解方法：具体的，利用初等变换法解方程组抽象的，利用解的性质及结构例 求 的基础解系与通解 第二节 非齐次线性方程组1非齐次线性方程组的定义：2方程组的解：1）解的形式：无解、仅有一个解、无穷多个解2）解的线性性质：（1 ）（2 ）3解的判定：4解的结构二、基本题型与基本方法题型：求解求解方法：0mnAx()rAnnr12nrxkk12
9、340xxAxb具体的，利用初等变换法解方程组抽象的，利用解的性质及结构例 第一节 方阵的特征值与特征向量一、基本内容1内积（向量之间的一种运算）定义：2正交组的概念：（1 ）向量正交的定义：（2 ）正交组、正交组与线性无关组的关系：3 Schmidt 正交化方法：4特征值与特征向量1）定义2）求法3）特征值与特征向量性质：（1 ）2）关于特征向量的线性无关性： 属于不同特征值的特征向量一定线性无关 具体表现为：二、基本结论， 是其特征值，若 ，则 一定有特征值三、基本题型与基本方法题型：求特征值与特征向量123415xx212()nnatrA 12nA()ijnAa10mfAaE ()fA(
10、)f具体矩阵：利用特征多项式、特征方程法抽象矩阵：定义法、利用上述性质与结论求解例第二节 相似矩阵与矩阵对角化一、基本内容1相似矩阵1）定义：2）相似的性质：（1 ） A,B 有相同的： （2 ）2矩阵对角化1）定义： 2）对角化的条件（1 ）充要条件： （2 ）充分条件：二、基本题型与基本方法题型：对角化的判定与计算例第六章 二次型一、基本内容3240AAB:13564A12A1可逆（非退化）线性替换与正交替换2合同矩阵1）定义：2）等价、相似、合同的关系：3二次型的定义：称为一个 n 元二次型。4二次型的标准形、规范形二、基本题型与基本方法题型：化二次型为标准型方法：配方法、正交变换法例11 nnxcy XCY2121121(,)n nfxaxax 22nax 2nax221nfdy 22211ppqfzz 2212313123(,)4fxxx2212313132(,)484fxxxx
