1．5．2倒格子的性质倒格子具有以下基本性质：（1）以倒格子基矢b1,b2,b3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v*…………………（1-5-3）（2）倒格矢和正格子空间中面指数为（h1h2h3）的晶面族正交，即Gh沿晶面族的法线方向我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC在上的截距分别为，如图1-18所示，易写出矢量和：………………………………………………………（1-5-4）矢量和都在ABC面上，因此，只要证明，则就能说明与面指数为（h1h2h3）的晶面族正交实际上，利用关系式（1-5-2），有…………………………………………（1-5-5）（3）晶面族（h1h2h3）的面间距dh与倒格矢Gh的模成反比，关系为图1-18中ABC面就是晶面族（h1h2h3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距dh就等于原点到面ABC的距离，而之族晶面的法线方向即为Gh的方向，其面间距为………………………………………（1-5-6）（1） 正格矢与倒格矢之间满足………………………………（1-5-7）§1.6 布里渊区在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面把倒易空间分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，以此类推，可得到第三、第四等各布里渊区。
1.6.1一维晶格的布里渊区一维晶格基矢为，对应的倒格子基矢,离原点最近的倒格矢为b和-b这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为，如图1-6-1所示1.6.2二维正方格子的布里渊区二维正方格子的基矢和倒格子基矢分别为：…………………………………………………………（1-6-1）即倒格子的结构也是正方格子，晶格常数为，其倒格矢可以表示为：………………（1-6-2）二维正方格子的布里渊区如图1-6-2所示图1-6-2 二维正方格子布里渊区示意图1. 6. 3 体心立方晶格第一布里渊区设晶格常数为a，体心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为：………………………………………………（1-6-3）由此，可知其倒格子为面心立方结构，它的第一布里渊区为菱形十二面体，如图1-6-3所示，由12个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成图中还给出了几个特殊的方向：[100]方向记作Δ，；[110]方向记作Σ，；[111]方向记作Λ，1.6.4面心立方晶格第一布里渊区设晶格常数为a，面心立方晶格的基矢和倒格子的基矢为：……………………………………………………（1-6-4）由此，可知其倒格子为体心立方结构，它的第一布里渊区为截角八面体，如图1-6-4所示，由8个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成正八面体，6个次近邻倒格矢的垂直平分面为正方形，组合一起形成截角八面体或称14面体。
图中还给出了几个特殊的方向：[100]方向记作Δ，；[110]方向记作Σ，；[111]方向记作Λ，1．6．5布里渊区的性质从上面的例子可以看出：（1） 布里渊区的形状与晶体结构密切相关，而且其形状是围绕原点中心对称的，其余每个布里渊区的各个部分也都是以原点为中心对称分布的；（2） 布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成，即布里渊区界面是某一倒格矢G的垂直平分面，界面的数学方程式可以写为：……………………（1-6-5）k是倒格子空间中的矢量，满足上式的k的端点均落在G的垂直平分面上，只要给定G，由上式就可以确定相应的布里渊区界面3） 第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳—塞兹原胞，其体积是一个倒格点所占的体积，与倒格子原胞体积相等，即……………………（1-6-6）而且，每个布里渊区的体积都相等，且都等于倒格子原胞的体积1.7 晶体的X射线衍射20世纪初，结晶学上重大进展是X射线衍射的发现劳厄（Laue）首先提出，晶体可以作为X射线的衍射光栅1912年，得里希和尼平用实验证实了他的想法此后，布拉格（Bragg）父子及其他人，在实验和理论方面作了许多重要的改进工作，建立了X射线结构分析的许多方法，近代电子衍射和中子衍射是X射线衍射方法的发展。
X射线衍射是分析晶体结构有常用方法，电子衍射和中子衍射对于X射线则是有力补充对于电子衍射，电子波不仅受到晶格中的电子散射，还受到原子核的散射，所以散射很强由于透射力很弱，它只能透入晶体内一个较短距离，适于研究晶体表面结构而中子具有磁距，它与固体中磁性电子可发生相互作用，故中子衍射适于研究磁性材料晶体结构利用量子隧道效应进行晶体结构分析的扫描隧道显微镜是最近20年才发展起来的一种新的晶体结构分析手段所以本节将主要介绍晶体的X射线衍射，并简要介绍电子衍射、中子衍射及扫描隧道显微镜的原理晶体的几何结构的基本特征是原子排列的周期性，原子间距约为10-8cm的数量级波长为10-8cm的电磁波光子能量为，它相当于X射线光子的能量因此，晶格可以作为X射线的衍射光栅能量约为0.08eV的中子以及能量约为3.5eV电子，其德布洛意波长Å，因此，在这范围内的中子和电子可以在晶格中产生中子衍射和电子衍射各种衍射图案都携带有反映晶体结构的信息处理晶体X射线衍射的方法有布喇格反射和劳厄衍射，二者相互一致1．7．1 X射线衍射基本原理X射线和晶体相互作用，是基于X射线对晶体原子中电子的散射，如果X射线经过一个电子散射后，当散射线的波长和入射击线的波长相同时，这些散射线相互干涉而加强。
一个原子中所有电子的散射，又可以归结为这个原子的一个散射中心的散射对于一定的波长，散射的强度决定于原子中电子的数目和电子的分布，不同的原子具有不同的散射能力晶体是由大量原子组成的，各原子的散射会相互干涉，结果会在一定方向构成衍射极大，并在照相底片上显示出衍射图形，因此，对于晶体结构分析，X射线是常用的基本方法设X射线源与晶体、观测点与晶体的距离均远大于晶体线度，则入射线和衍射线都可以看成是平行光线若不考虑康普顿效应，则散射前后的波长保持不变这里只讨论布喇菲格子，并设S0、S为入射结和衍射线的单位矢量如果晶格中所有原子均相同，则对一定的入射线，衍射极大条件只决定于原子在晶格上的排列；如果只考虑周期性，则对于布喇菲格子的衍射条件就可以由基矢和波矢来确定，因此这是个纯粹的几何问题取格点O为原点，晶格中任一格点A的位矢为，即为正格矢1．劳厄方程自A作AC垂直于S0及AD垂直于S，则从图1-7-1中可以看出，光程差为CO+OD，其中，满足衍射加强的条件为：；…………………（1-7-1）其中μ为整数，该式称为劳厄衍射方程劳厄衍射方程也可用X射线的波矢表示因为波矢和，所以，劳厄方程又可以写为………（1-7-2）比较式（1-7-1）和（1-5-7），可知矢量（k-k0）相当于倒格矢，即波矢（k-k0）同倒格矢Gh等价。
因此可令……………………………………………………………………………（1-7-3）其中n为整数式（1-7-3）是倒格子空间的衍射方程，它代表的意义是：当衍射波矢与与入射波矢相差一个或几个倒格矢时，满足衍射加强条件这里n称为衍射级数，（）是面指数，而（）为衍射面指数2． 布拉格公式考虑n=1的情况，式（1-7-3）表示k0、k和Gh围成一个三角形，如图1-7-2所示由于忽略康普顿效应，所以，因此Gh的垂直平分线必平分k0与k之间的平角，如图1-7-2（a）的虚线所示我们知道，晶面（）与倒格矢Gh垂直，所以该垂直平分线一定在晶面（）内衍射极大的方向恰好是晶面族（h1h2h3）的反射方向，这样，衍射加强条件就转化为晶面的反射条件楞以得出结论：当衍射线对某一晶面族来说恰为光的反射方向时，此衍射方向就是衍射加强的方向由图1-7-2（a）所示， ………………………………………………（1-7-4）据式（1-18）（指）可得： ……………………… （1-7-5）把式（1-7-4）和（1-7-5）合并，则可推出布拉格公式为： …………………………………………………………………（1-7-6）式中，是晶面族（h1h2h3）的面间距，n是衍射级数。
显然，式（1-7-3）是倒格子空间中的布拉格反射公式的表述把图1-7-2（a）转化为正格子，得到图（b），这里S0和S代表入射线和衍射线的单位矢量，s为两个单位矢量之差，因此可推导出式1-7-6由布拉格公式1-7-6可以看出：（1）当入射线波长一定量，入射角只有符合时才能发生衍射由于，则当n=1时，必有由此可见，实现晶体X射线衍射不能用可见光而需要用X射线2）对于同一晶格点阵，可取不同面指数（）的晶面族，例如（100）、（110）、（210）等，而得到不同的面间距当X射线入射方向一定，且波长一定时，对应不同的晶面族，满足衍射极大的θ将会不同3）对于给定的晶面族，其面间距一定当入射的X射线也确定时，则不同的衍射级次n，对应不同的衍射角3．反射球前面我们曾讲过，晶体可以作为X射线衍射的三维光栅，衍射照片上的斑点与晶面族有一一对应的关系，会给晶体的研究带来极大的便利反射球的概念将帮助我们建立这种对应关系，以反射球为分析工具，进一步讨论晶体衍射的实验方法考虑在一级反射情况下，即n=1此时倒格子空间的劳厄方程可写为，而的两端均为倒格点而k和k0的端点落在Gh的两端点上，即它们出是倒格点设C为k和k0的交点，以C点为中心，2π/λ为半径作一球面，如图1-7-3（a）所示，则的两端点一定落在这个球面上，而落在球面的倒格点一定满足式（1-7-3）。
这些倒格点对应的晶面族将产生反射，这样的球称为反射球反射球的作图步骤为：（1）设入射的X射线波矢为k，方向为CO，，取O为晶体点阵的原点，如图1-7-3（b）所示2）若晶格点阵的基矢已知，由式（1-5-1）即可算出倒格子基矢，并画出倒格子点阵3）以C点为球心，以为半径，作一球面，原点O一定落在球面上若另有一倒格点P在球面上，则CP就是以OP为倒格矢的一族晶面（）的反射波矢k图1-7-3(b)中的虚线就代表这一晶面族1．7．2晶体衍射实验的基本方法下面以反射球为分析工具，来讨论晶体衍射的三种基本方法1．劳厄法劳厄法是用波长可连续变化的X射线，射击入固定的单晶体而产生衍射的一种方法装置如图1-7-5所示由于X光管中加速电压的限制，所用的X射线有一最小波长限λmin；，同样，由于X光管窗玻璃的吸收作用，X光波长也有一最大长波限λmax有效的连续X射线谱在λmin与λmax之间的变化，对应于λmin的反射球半径最大，而对应于λmax的反射球半径最小于是对应于λmin与λmax之间的任一波长的反射球半径介于这两个反射球半径之间，所有反射球的球心都在入射线方向上，如图1-7-4所示由上面的讨论可知，X射线的入射波矢k0与反射波矢k的矢量关系为。
由于，则反射波矢k的末端落在了以为半径的反射球上，若k0的末端取为倒格点，如图1-7-4所示，则波矢k的末端也必定是倒格点这说明，当X光波长和入射方向一定时，由球心到球面上的倒格点连线方向，都是X光衍射极大方向，或称光的反射方向对应于半径为和的两个球之间任一倒格点与k0末端连线的中垂面在入射方向上的直径上的交点，与该倒格点的连线，即是衍射极大方向由晶体出射的衍射线束在底片上形成的一系列斑点，称为劳厄斑点所有的劳厄斑点构成晶体的X射线衍射图样可见劳厄斑点与倒格点一一对应，劳厄斑点的分布可以反映出倒格。