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1、,人教版数学教材八年级下,第16章 二次根式,16.1 二次根式,什么是一个数的算术平方根？如何表示？,正数的正的平方根叫做它的算术平方根。,回忆,什么叫做一个数的平方根？如何表示？,一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。,用 (a0)表示。,0的算术平方根平方根是0,a的平方根是,复习,1、如果 ，那么 ；,2、如果 ，那么 ；,3、如果 ，,那么 。,2,b-3,2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 它的半径为 m（ 取3.14）；,3、关系式中 ，用含有h的式子 表示t，则t为 。,导入,表示一些正数的算术平方根,你认为所得的各代数式有哪些共同特点？,被开方
2、数,二次根号,新授:,读作“根号 ”,归纳:,二次根式的定义,一般地，代数式形如 ( ) 的式子做叫二次根式。,请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！,?,开动你的脑筋,你一定行!,表示什么？a应满足什么条件？,1、当a是正数时， 表示a的算术平方根 ，即正数a的正的平方根。,2、当a=0时， =0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根。,3、当a是负数时， 没有意义。,思考：,亲！ 表示非负数a的算术平方根。,表示非负数a的算术平方根；,也就是说， 是一个非负数，它的平方等于a.即有：,概括：,不是,它是二次根式的代数式.,形如 的式子叫做二次根式。,二次根式概念,二次根式的两个
3、特征：,（1）根指数为2,形,（2）被开方数大于等于零,质,注：其中的a可以是具体的数；也可以是含有字母的代数式。,(1) 代数式 是二次根式吗?,概念透析,答:代数式 只有在条件a0的情况下,才属于二次根式!,二次根式是属于有特殊条件的代数式.,(2) 是二次根式吗？,答：符合条件(1)被开方数 为非负数; (2) 含有二次根号，所以 是二次根式,(3) 代数式 是二次根式吗?,答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.,而 这类代数式，应把 这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。,如： 这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；,注意,说一说:,下列代数
4、式中哪些是二次根式？,火眼金睛,下列各式是二次根式吗?,(m0),(x,y 异号),在实数范围内,负数没有平方根,火眼金睛,有意义,被开方数a0,例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。,例题吧,（3）由题意可知：,(1) 由x-5 0,得x 5,当 x 5时， 有意义.,当 -1 x 3时， 有意义.,解：,(2) 因为不论x是什么实数，都有 0.,当 是任何实数时， 有意义.,当x取何值时， 在实数范围内有意义。,x-5 0,解：由题意得, 当x5时， 在实数范围内有意义。,1、 x取何值时,下列二次根式有意义?,快速口答,(7),(8),例1、,a取何值时，下列各式有意义？,求二次
5、根式中字母的取值范围的基本依据：,被开方数不小于零，即被开方数必须是非负数；,分母中有字母时，要保证分母不为零。,（1）解：由-3a+20,得,（2）解：由 , 得,1-2a0,（3）解：(a+3)20,当x为怎样的实数时，下列各式有意义？,x1,x1,x=1,x为任何实数.,x为任何实数.,二次根式的双重非负性,经常作为隐含条件，是解题的关键,已知 ，求xy的值,解： ， ，,解得,x-10， y+30,x， y,x+y-2,?,若a.b为实数,且,求 的值,解:,试试你的反应,已知：a、b为实数，且满足 你能求出a值吗？,b-10,1-b0,b=1，,解：由题意得:,当b=1时，a=,?,
6、解:由题意得,小结：,1.怎样的式子叫二次根式？,2.怎样判断一个式子是不是二次根式？,3.如何确定二次根式中字母的取值范围？,（1）. 形式上含有二次根号,（2）.被开方数a为非负数，,分母不为0,被开方数大于等于0,结合数轴,写出解集来,（1） 双重非负性,形如 (a0)的式子叫做二次根式 。,小结,有意义,被开方数a0,1、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ,， ,（3）,（4）,，,（5）,解：由题意得：,求：xyz 的值,解：由题意得：,xyz=(-5)2(-2)=20,性质1:,一般地,二次根式有下面的性质:,快速判断,5,3,a,9,4,16,15,17,合作学习,一般地,二次根
7、式有下面的性质:,2,2,5,5,0,0,当 时, ; 当 时,请比较左右两边的式子,议一议: 与 有什么关系?,性质2:,2:从运算顺序来看：,先开方,后平方,先平方,后开方,=a,=a,辨析总结,1.从读法来看：,3.从取值范围来看：,a取任何实数,a0,根号a的平方,根号下a平方,4.从运算结果来看:,二次根式的性质及它们的应用:,平方在外面,直接去根号,平方在里面,夹上绝对值,分类来讨论,口诀,（1）,（2）,大 家 一 起 来 分 辨,2,2,-2,|-2|,=2,|2|=2,-|-2|=-2,例题,例2 求下列二次根式的值：,解：,因为 0，所以,| |= （ ）=,所以，,| |
8、,解：,| |,当 时，原式=,| |,=,所以，当 时，元二次根式的值是 .,(xy),跟踪练习,将下列各式化简：,小结：,1.怎样的式子叫二次根式？,2.怎样判断一个式子是不是二次根式？,3.如何确定二次根式中字母的取值范围？,（1）. 形式上含有二次根号,（2）.被开方数a为非负数，,分母不为0,被开方数大于等于0,结合数轴,写出解集来,4.真正理解：,这两个性质的概念，,我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。,解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘隐含条件。,1、求下列二次根式中字母的取值范围：,基础练习,（1） （2） （3） （4）,(1)解:由题意得,(3)解:由题意得
9、,(4)解:由题意得,2.化简及求值： (1) (2) (3) (a0,b0) 其中a= (5),(1) (2) (3) (a0,b0) 其中a= (5),解:由题意得,综合提高,1. 求下列各式有意义时的X取值范围：,解:由题意得,解：原式=,=|x-3|+|x+1|,-10 原式 = (3-x) + (x+1) = 4,引申提高,A,3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简,A B C D,2.下列式子一定是二次根式的是（ ）,C,4.已知a，b，c为ABC的三边长，化简：,+,-,这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。,5.化简,6.把
10、下列各式写成平方差的形式， 再在实数范围内分解因式；,解：,-1,3,(-5)2(-2)=20,3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.,2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.,到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？,思考：,非负数 的性质：,1.几个非负数的和、积、商、乘方及 算术平方根仍是非负数,6.化简：,-,分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x0,x2.,7.设等式,在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求,的值。,解：,巩固提高1：,1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围,（1）,（2）,（3）
11、,2.当x_时,有意义.,=0,3.化简：,=_,2a-3b,4.要使式子 有意义，那么x的取值范围是（ ） A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0,C,5.已知,求,的值。,6.已知,，化简：,7.已知：,，求,的值。,2.已知a,b为实数，且满足 ,你能求出a及a+b 的值吗？,若,=0，则,=_。,3.已知 有意义,那A(a, )在 象限.,二,由题意知a0,点A(,),巩固提高2：,4.计算：,+,+,+,5.如果,+b-2=0，求以a、b为边长的等腰,三角形的周长。,切入点：,从字母的取值范围入手。,1.已知 ，你能求出 的值吗？,3.已知 ，你能求出 a 的取值范围吗？,2.已知 与 互为相反数， 求 、 的值.,切入点：,从代数式的非负性入手。,4.已知 为一个非负整数，试求非负整数 的值,切入点：,分类讨论思想。,探索交流,
