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1、第七节 函数的连续性,初等函数的连续性,函数的间断点,函数连续性的概念,思考题、,小结,1.无穷小的比较:,2.等价无穷小的替换:,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,内容回顾,一、函数连续性的概念,1. 函数的增量,2.连续的定义,例1,例1,证,由定义2 知,定理,3.单侧连续,例2,解:,右连续但不左连续 ,例3,证明:,则,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,4.连续函数与连续区间,结论1 基本初等函数在定义域内是连续的.,三角函数及反三角函数在它们的定义域内连续.,(均在其定义域内连续
2、 ),基本初等函数的连续性,二、函数的间断点,例4,解:,1.跳跃间断点,2.可去间断点,注：可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.,例5,解:,在例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,3.第二类间断点,例6,解:,例7,解:,例8,解:,三、初等函数的连续性,定理1,例如,1.连续函数的四则运算的连续性,定理2 如果函数y = f(x)在某区间上单调增加(或减少)且连续,则它的反函数在相应的区间上单调增加(或减少)且连续.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2.反函数与复合函数的连续性,定理3,注：定理3是52页定理5的特殊情况.,例如,结论2
3、 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,定义区间是指包含在定义域内的区间.,（1）初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,注:,3.初等函数的连续性,结论1 基本初等函数在定义域内是连续的.,（2） 初等函数求极限的方法代入法.,例9,例10,解:,解:,解:,思考题,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型，跳跃型.,第二类间断点:无穷型，振荡型.,间断点,初等函数的连续性.,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,作 业,P73 T2 , T3 , T6,第八节 闭区间上连续函
4、数的性质,零点定理与介值定理,最值定理与有界性,思考题、,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型，跳跃型.,第二类间断点:无穷型，振荡型.,间断点,初等函数的连续性.,内容回顾,一、最值定理与有界性,定义:,例如,定理1 (有界性与最大值和最小值定理),注:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,在闭区间上的连续函数有界且一定有最大值和最小值.,二、零点定理与介值定理,定义:,根的存在性定理,几何解释:,几何解释:,证：,由零点定理知,例1,证明：,由零点定理,推论 在闭区间
5、上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例2,证明：,由零点定理知,说明：见书上77页的例3（不动点定理）,注：零点定理常用于判定方程f(x)=0的根的情 况，一般步骤：,1、构造函数f(x)(从结论入手！),2、验证零点定理的条件，即：判断函数 f(x)的连续性及f(x)在端点值的符号.,3、应用零点定理.,证明,思考题,讨论:,由零点定理知,综上,小结,三个定理,有界性与最值定理，零点定理，介值定理.,注意定理条件：1闭区间； 2连续函数,解题思路：,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法: 先作辅助函数F(x), 再利用 零点定理.,作 业,P78 T1 , T3,P79 T3, T5, T8 , T11,
