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1、2幂函数的图象:(只做出第一象限图象),3幂函数的性质 (1)当0时,幂函数图象都过 点和 点;且在0,)上都是 函数;当01时,曲线 ;1时为过 点和 点的直线 (2)当0时,幂函数图象总经过 点,且在(0,)上为减函数 (3)0时yxx0,表示过 点平行于x轴的直线(除(0,1)点),(0,0),(1,1),增,上凸,下凹,(0,0),(1,1),(1,1),(1,1),(2)性质(见下表),答案 D,答案 C,答案 A,点评与警示 比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性 (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性 (3)若既不能化为同指数,也不
2、能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小,幂函数y(m2m1)xm22m3当x(0,)时为减函数,求实数m的值 解 令m2m11,解得m2或1. 当m2时,m22m33,幂函数yx3在(0,)上为减函数; 当m1时,m22m30,yx0在(0,)上为常函数 所以,m2. 点评与警示 注意幂函数的定义:形如yxa的函数叫做幂函数因此有m2m11.,若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点,则实数m的值等于( ) A1 B2 C1或2 D0 解析 由于函数y(m23m3)xm2m2是幂函数, 所以m23m31,解得m1或2. 当m1时y(m23m3)xm2m2x2,定义域是x
3、|xR,x0,图象不经过原点; 当m2时,y(m23m3)xm2m2x0,定义域是x|xR,x0,图象不经过原点 答案 C,分析 先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断,据图可知, (1)当x1或xg(x), (2)当x1或x1时,f(x)g(x), (3)当1f(x) 点评与警示 1.幂函数的一般形式是yx(为常数),确定幂函数的解析式一般用待定系数法,解出即可 2幂函数的图象在解不等式和方程时有重要的应用 3本题注意g(x)x2的定义域是x|x0,解 函数在(0,)上单调递减, m22m30,解得1m3. mN,m1,2. 又函数图象关于y轴对称, m22m3是偶
4、数 而222233为奇数, 122134为偶数,m1.,已知幂函数f(x)xm22m3(mN)的图象关于坐标原点对称且在(0,)上是减函数,求f(x)的表达式并画出该函数的草图 解 f(x)在(0,)上是减函数 m22m30即1m3 由mN,得m0、1、2. 又f(x)的图象关于原点对称 m22m3是奇数,而m0时,m22m33是奇数 m1时,m22m34不是奇数 m2时,m22m33是奇数 m0或2, f(x)x3. 草图如右图,2在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论 3对于幂函数yxa,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图
5、象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即a1三种情况下曲线的基本形状,还要注意a0,1三个曲线的形状,4利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小,具体方法如下: (1)当幂的底数相同,指数不同时,可以利用指数函数的单调性比较; (2)当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数的单调性比较; (3)当幂的底数和指数都不同时,一种方法是作商,通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小,可以利用幂函数的单调性比较;另一种方法是运用媒介法,即找到一个中间值(如1),通过比较两个幂值与中间值的大小,确定两个幂值的大小,(4)比较多个幂值的大小,一般也是运用媒介法,即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系,据此将它们分成若干组,然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较,最后确定各数之间的大小关系,