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1、经济数学授课提纲,第二学期第三十七次授课 授课教师：郭正光,10.5 二阶常系数线性微分方程,上次课内容复习：,特征方程:,实根,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,(1),是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 2.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,证毕,因而 也是通解 .,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,定理3 设 和 是 的两个特解，则 是 的一个解。,定理 4. 设,分别是方程,的特解, 则,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),例1,已知微
2、分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而相互独立,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,一、,为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重
3、根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,小结：,对于方程,设特解为,（m次完全多项式）,当是特征方程的k重根时,可设特解,例4,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,二、,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,时可设特解为,时可设特解为,提示:,例5 (填空) 设,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),例6 求方程 的通解。,本次课小结：,对于方程,一、,二、,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),EX:10-5 3, 4, 5,
