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1、主要学习内容,2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应和阶跃响应 2.卷积 2.7 卷积的性质 2.8 用算子符号表示微分方程,本章主要小节：,2.1 引言,一、系统数学模型的时域表示,时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、差分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。,本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。,二、系统分析过程,*经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决 h(t)；,*卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法
2、),2.2 微分方程式的建立与求解,一、物理系统的模型,许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,二、微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流 约束关系,KCL和KVL。,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。,【例1】,机械位移系统：质量为m的刚体一端由弹簧
3、牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的惯性力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为,这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。,【例2】,结论： 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。,三、n 阶线性时不变系统的描述,若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,四、求解系统微分方程的经典法,分析系统的方法：列写方程，求解方程。,求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特解：根据微分方
4、程右端激励信号形式，设含待定系数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。,全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解的常数 。,常用激励信号对应的特解形式,【例3】 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y(0)=2, 输入信号f(t)=e-tu(t),解 ： (1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征根为,齐次解yh(t),特征方程为,由输入f (t)的形式，设方程的特解为,yp(t)=Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,3) 求方程的全解,2)求非齐次方程的特解yp(t),解得 A=5/2，B= -11
5、/6,2.3 起始点的跳变,电容电压的突变 电感电流的突变 冲激函数匹配法确定初始条件,1电容电压的突变,由伏安关系,当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：,电流为冲激信号。,【例4】,2电感电流的突变,如果 为有限值，,【例5】,配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）,【例6】,三冲激函数匹配法确定初始条件,在 中 时刻有,分析,中的,表示 到 的相对跳变函数，所以，,数学描述,设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,例7：给定微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下两种情况：,试判断在起始点是否发生跳变，据此
6、对（1）、（2）、（3）分别写出其r(0+)的值。,2.4 零输入响应和零状态响应,一、系统响应划分,自由响应强迫响应 (Natural+forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),瞬态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state),也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,(1)自由响应：,(2)暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,各种系
7、统响应定义,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,(3)零输入响应：,零状态响应：,二、对系统线性的进一步认识,由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。 (3)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。,解：,解得,零输入响应和零状态响应求解举例,例9：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t
8、) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。,解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故可得 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 该齐次方程的特征根为1， 2，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0,（2）零状态响应yzs(t) 满足,yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6u(t) 并有
9、 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 根据冲击函数匹配法可得 yzs(0+) = yzs(0-) = 0， yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2,对t0时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3， 于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,2.5 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,1、定义,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示
10、。,响应及其各阶导数(最高阶为n次),2、n阶系统的冲激响应,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),二、阶跃响应,系统的输入 ，其响应为 。系统方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。,系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,1、定义,2、阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,2.卷积（Convolution）,一、卷积的定义,利用卷积可以求解系统的零状态响应。,卷积方法的原理：就是将信号分解为冲击信号之和，借助系统的冲击响应，从而求解系统对任意激励信号的零状态响应。,出现在不同时刻
11、的，不同强度的冲激函数的和,二、利用卷积求系统的零状态响应,这就是系统的零状态响应。,三、卷积的计算,解析式法 公式法 图形法,有三种计算方法，它们是？,【例10】,已知信号 和,求,用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。,卷积积分的图解分析法,5.变量 在 范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号 .,已知,求,反褶,t ：移动的距离,t =0 f2(t-) 不移动,t 0 f2(t-) 左移,t -1,时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;,-1 t 1,即 1
12、t 2,1 t 2,即 2 t 4,2 t 4,即 t 4,t-31,t 4,卷积结果,2.7 卷积的性质,一、代数性质,1、交换律,2、分配律,3、结合律,系统并联,系统并联框图表示：,系统级联,系统级联，框图表示：,例11 图示系统由三个子系统构成，求复合系统的冲激响应 。,解：,假如h1(t)=(t-2),h2(t)=u(t),则h(t)=？,二、卷积的微分积分性质,推广：,微分性质积分性质联合实用,微分n次，积分m次,m=n, 微分次数积分次数,三、与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广：,例12、求图示系统的冲激响应，其中 h1(t) = e-3t u(t)，h2(t) =(t -1) ，
13、h3(t) = u(t)。,解：,子系统h1(t) 与h2(t) 级联， h3(t)支路与h1(t) h2(t) 级联支路并联。,例13、计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,解：,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,练习：计算 y (t) = x(t) * h(t)。,2.8 用算子符号表示微分方程,一、算子符号,对于n阶线性常系数微分方程,用算子符号可以表示为：,进一步简化为：,二、算子符号的基本规则,1、算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因式相消。,2、算子的乘除顺序不可随意颠倒。,三、传输算子,激励与响应之间的关系可以表示为：,则定义传输算子为：,
