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1、小学数学知识讲座 空间与图形、统计与概率,一、课程标准的要求：,标准将以往的“几何”拓广为“空间与图形“，它加强和削弱了哪些内容呢？ 1.加强方面及其依据 第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅 包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。 第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。 三个学段的要求如下： 第一学段：感受平移、旋转、对称现象。 第二学段：进一步学习图形的变换。 第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏 并体验变换在现实生活中的广泛应用。 第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培
2、养空间观念。 标准注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出 几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学 段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角 度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第 三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式 的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认 识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。 2.削弱的方面及依据 第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因
3、为这两个学 段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观 念，因而标准把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少定理的数量.,统计与概率,一、强调与注意的方面: 标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一,主要有两个原因: 现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的能力，这种能力要从小培养。 随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实。 1.强调统计与概率过程性目标
4、的达成 2.强调对统计表特征和统计量实际意义的理解 3.注意与现代信息技术的结合 4.注意统计与概率和其他内容的联系 5.注意避免的统计量的计算和对有关术语进行严格表达 二、各学段实施时要注意的问题,第二部分 有关空间与图形基础知识 一、线、角和距离 1.直线、线段、射线,3.垂直和平行,4 . 距 离,平面图形 三角形的分类,3.几种简单平面图形的特征、周长和面积,2,三、简单几何体,1.表面展开图,2.简单几何体的特征、表面积与体积,侧,四、图形位置与变换,1.图形位置,北,上,下,前,后,左,右,西北,东北,东南,西南,西,东,南,2.图形变换,3.平面对称图形,第三部分 统计与概率 一
5、、统计表 1.统计表的意义 和结构 2.单式统计表和复式统计表 3.统计表的制作步骤 二、统计图 1.统计图的意义及类型 2.统计图的特征 3.统计图的 制作步骤,三、统计特征量,四、事件与可能性 1.事件,2.简单事件发生的可能性,三、考点范围： 1.几何基础； 数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形周长的意义及计算等。
6、这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。,例1:如图在直线上有A、B、C、D四个点，图中有几条直线？几条射线？几条线段？ 分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。 如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段
7、。所以图中有一条直线即直线AD有8条射线，即以A、B、C、D每个点为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有6条：AB、BC、CD、AC、BD、AD。,A B C D,1.求下面平行四边形ABCD的周长 （单位：CM） 2.如下图,已知角1=15度,角2=35度，求角3的大小 3.一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的 同 一条直径上，它们之间都相切，大圆的周长是10 求这三个小圆的周长。 4.有7根直径都是2分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结的长不计）,9,6,4,1,2,3,5.如图，B、C、D依次是线段AE上三点，若AE=15
8、，BD=6，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和 分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有10条线段，为了求出这10条的长就要把这些线段都用AE、BD表示出来,2.基本的面积计算 面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。 例1：一个直角三角形的一个锐角为45度，最长的边长是14求这个三角形 的面积。 分析:过C点作CD的AB高,那么CD=AD=AB1/2所以三角形的面积=CDAB2 练习：1.如下图，求
9、四边形ABCD的面积是多少？,A,B,C,D,A,B,C,D,2.把一个正方形的一边减少20%，相邻的一边增加2，得到一个长方形，这个长方形与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。 3.如图，直角三角形ABC内有 一个正方形BDEF，AB=3，BC=4，AC=5，EG垂直于EG，且EG=0.3，求正方形BDEF的面积,A,B,C,D,E,F,G,3、等积变换 当两个图形的面积相等时，如果知道一个图形的面积，那么与之面积相等的图形的面积当然也就知道了，这就是等积变换。这一方法的基本出发点，包括以下几类常用的等积图形。 1.等底等高的两个三角形（或平行四边形、长方形等）的面积相等。 2.如果两个
10、具有同一公共顶点的三角形满足该顶点所对的边在同一直线上且长度相等，那么这两个三角形的面积相等 3.如果一个三角形的某一边被一边分成n等份那么顺次连接这些等份点与该边所对应顶点的几个三角形面积相等 4.平行四边形（或长方形、正方形）的对角线将其图形分成两个等面积的三角形 5.夹在两条平行直线间的两个三角形（或两个平行四边形）的饿底边相等，那么这两个三角形（或平行四边形）的面积相等 基本方法： 1.将待求图形分割成几个部分分别寻找与已知图形间的等积关系 2.待求图形与已知图形间无直接关系而需通过其他图形过度，有时还需多次过度 3.图形没有等积形，适当添加辅助线后出现等积形，再用以上方法求积 例1：
11、如下图在梯形ABCD中对角线 AC与BD相交于E，且CE=2AE，若梯形ABCD的面积为540平方米，求三角形ABE面积 分析：要求三角形ABE的面积，就必须找出它与梯形的关系，从而就要找出三角形AEF，DEC，BCE与ABE的关系。 练习(1)：已知下图中平行四边形的底AB是15，高7，M是AB的中点，求阴影的面积？,（2）如下图，已知小正方形的边长为3，大正方形的边长适当，求三角形面积。,A,B,C,D,E,A,B,C,C,D,M,E,O,A,B,C,4、分数法求面积 在分数应用题中，我们利用某个单位“1”的分率与对应量来求出这个单位“1”，借用了这一思路，在几何图形中可利用对应量与对应分
12、率的关系求出作为单位“1”的图形的面积，这是利用分数应用题的解题思路解决图形的求积问题的一种思路。 基本方法：1、当两个三角形的高相等时，它们的面积比等于底边之比，由此 得出两图形的面积比。 2、两个平行四边形（包括长、正方形）的底边相等时，它们的面 积比等于高的比。 利用以上的基本关系以及比例和分数的运算求出已知图形占待求图形面积的比例关系或分数关系，从而借助分数应用题中对应量除以对应分率的方法求出图形的面积。 例1：如图，大，小圆重叠部分的面积是大圆的1/8，是小圆的1/6，求大圆与小圆面积的比是多少？ 分析：,练习：1.平行四边形ABCD的面积为120，F为BC的中点，四边形EFGH的面
13、积为9，求三块阴影的面积之和。 2.已知正方形的ABCD的边长为4，AE=2/5AB，G是 DE与AC的交点求三角形GCD的面积。,A,B,C,D,E,F,G,H,A,B,C,D,E,G,5、应用面积比解应用题: 在应用面积比解应用题时首先要掌握以下基本原理: 1、等底等高的三角形或平行四边形面积相等。 2、如果两个长方形的长或宽相等。那么它们面积之比等于它们的宽或长之比。 3、如果两个三角形或平行四边形的底或高相等，那么它们的面积比等于它们的高或底的比。 例1：如下图每个四边形是平行四边形,其中三个平行四边形面积分别是10，15，24，那 么 阴影的面积是多少？ 分析：因为面积为10与面积为
14、24的两个平行四边形的底相等，那么它们高的比就是面积的比，所以阴影的面积与面积 为15的也是12：5 例2：如下图，已知平行四边形的面积为7.2平方厘米.E为BC中点,图中阴影部分的面积是多少? 分析:因为SADE:SCDE=S阴: SOEC 又因为SADE:SCDE=2 所以S阴=7.21/42/3=1.2厘米.,24,10,15,A,B,C,D,E,O,练习：1.如下图，正方形ABCD的面积为120平方厘米 ，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少？,A,B,C,D,E,F,G,H,6.分割法求面积： 图形的面积计算常会遇到一些不规则的图形，称为组合图形。这些图形的面积
15、没有现成的公式直接去计算，但通过观察发现它们可以分割成几个部分，这些部分均为规则图形，又可以直接运用面积公式进行计算。 例1；如下图，两个正方形的边长分别为1和2，求图中阴影的面积。 分析：连BG，把阴影的面积分成两个三角形就可以求得。 练习：1.已知长方形长与宽的比是3：2，AC为长边的1/3，D为宽的中点，三角形ABC的面积为28，求四边形BCDF面积。 2. 如图，角1=15度，圆周长为75.36，平行四边形的面积是144，求阴影的面积。,B,G,A,B,C,D,O,A,B,C,D,E,F,7.割补法求面积： 区别分割法，它是在分割组合图形的基础上，再将分割后的部分加以拼接以构成基本的规则图形，需要学生有一定的观察能力，是较难的饿一种方法。 基本方法： 例1：如图，边长为4的正方形由三个长方形合并而成，中间一个长方形的宽是2，求三块阴影的面
