29届全国中学生物理竞赛复赛(高清试题图片Word答案)

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1、12345678第 29 届 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 复 赛 试 卷 参 考 答 案一 、由 于 湖 面 足 够 宽 阔 而 物 块 体 积 很 小 ， 所 以 湖 面 的 绝 对 高 度 在 物 块 运 动 过 程 中 始 终保 持 不 变 ， 因 此 ， 可 选 湖 面 为 坐 标 原 点 并 以 竖 直 向 下 方 向 为 正 方 向 建 立 坐 标 系 ， 以 下简 称 系 . 设 物 块 下 底 面 的 坐 标 为 ， 在 物 块 未 完 全 浸 没 入 湖 水 时 ， 其 所 受 到 的x x浮 力 为( ) (1)2bfgxb式 中 为 重 力 加 速 度 .物 块

2、的 重 力 为g(2) 3gf设 物 块 的 加 速 度 为 ， 根 据 牛 顿 第 二 定 律 有a(3) 3gbbaf将 (1)和 (2)式 代 入 (3)式 得(4)xb将 系 坐 标 原 点 向 下 移 动 而 建 立 新 坐 标 系 ， 简 称 系 . 新 旧 坐 标 的 关 系x/b X为 (5) Xx把 (5)式 代 入 (4)式 得(6)gaXb(6)式 表 示 物 块 的 运 动 是 简 谐 振 动 . 若 ， 则 ， 对 应 于 物 块 的 平 衡 位 置 . 0a由 (5)式 可 知 ， 当 物 块 处 于 平 衡 位 置 时 ， 物 块 下 底 面 在 系 中 的 坐

3、标 为 x(7) 0x物 块 运 动 方 程 在 系 中 可 写 为 X(8) ()cosXtAt利 用 参 考 圆 可 将 其 振 动 速 度 表 示 为(9) ()sinVtt式 中 为 振 动 的 圆 频 率9(10) gb在 (8)和 (9)式 中 和 分 别 是 振 幅 和 初 相 位 ， 由 初 始 条 件 决 定 . 在 物 块 刚 被 释 放 时 ，A即 时 刻 有 ， 由 (5)式 得0tx=0(11)(0)Xb(12)()0V由 (8)至 (12)式 可 求 得(13) Ab (14)将 (10)、 (13)和 (14)式 分 别 代 人 (8)和 (9)式 得(15) c

4、osXtbt(16)()inVtgt由 (15)式 可 知 ， 物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 时 恰 好 完 成 一 个 振 动 周 期 ； 但 物 块 的 运动 始 终 由 (15)表 示 是 有 条 件 的 ， 那 就 是 在 运 动 过 程 中 物 块 始 终 没 有 完 全 浸 没 在湖 水 中 . 若 物 块 从 某 时 刻 起 全 部 浸 没 在 湖 水 中 ， 则 湖 水 作 用 于 物 块 的 浮 力 变 成 恒力 ， 物 块 此 后 的 运 动 将 不 再 是 简 谐 振 动 ， 物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 所 需 的 时 间 也 就 不再 全

5、由 振 动 的 周 期 决 定 . 为 此 ， 必 须 研 究 物 块 可 能 完 全 浸 没 在 湖 水 中 的 情 况 . 显 然 ， 在 系 中 看 ， 物 块 下 底 面 坐 标 为 时 ， 物 块 刚 好 被 完 全 浸 没 ； 由 (5)式 知 在x b系 中 这 一 临 界 坐 标 值 为X（ 17）b1X即 物 块 刚 好 完 全 浸 没 在 湖 水 中 时 ， 其 下 底 面 在 平 衡 位 置 以 下 处 . 注 意 到 在bX振 动 过 程 中 ， 物 块 下 底 面 离 平 衡 位 置 的 最 大 距 离 等 于 振 动 的 振 蝠 ， 下 面 分 两A种 情 况 讨

6、论 ：I . 由 (13)和 (17)两 式 得bAX(18)2在 这 种 情 况 下 ， 物 块 在 运 动 过 程 中 至 多 刚 好 全 部 浸 没 在 湖 水 中 . 因 而 ， 物 块 从初 始 位 置 起 ， 经 一 个 振 动 周 期 ， 再 次 返 回 至 初 始 位 置 . 由 (10)式 得 振 动 周 期(19)2bTg物 块 从初始位置出发往返一次所需的时间10(20)I2btTgII . 由 (13)和 (17)两 式 得bAX(21)2在 这 种 情 况 下 ， 物 块 在 运 动 过 程 中 会 从 某 时 刻 起 全 部 浸 没 在 湖 水 表 面 之 下 .

7、设从 初 始 位 置 起 ， 经 过 时 间 物 块 刚 好 全 部 浸 入 湖 水 中 ， 这 时 . 由 (15)和1t 1bXt(17)式 得(22)1cost 取 合 理 值 ， 有(23) 1arcsbtg由 上 式 和 (16)式 可 求 得 这 时 物 块 的 速 度 为(24)21()1-Vtb此 后 ， 物 块 在 液 体 内 作 匀 减 速 运 动 ， 以 表 示 加 速 度 的 大 小 ， 由 牛 顿 定 律a有(25)ag设 物 块 从 刚 好 完 全 浸 入 湖 水 到 速 度 为 零 时 所 用 的 时 间 为 ， 有2t(26)120Vta由 (24)-(26)得

8、(27)22 1()btg物 块 从初始位置出发往返一次所需的时间为(28)2I12 2()arcos11()bbttgg 评分标准：11本题 17 分.（6）式 2 分， （10） （15） （16） （17） （18）式各 1 分， （20）式 3 分， （21）式1 分， （23）式 3 分， （27）式 2 分， （28）式 1 分. 二 、1.i.通 过 计 算 卫 星 在 脱 离 点 的 动 能 和 万 有 引 力 势 能 可 知 ， 卫 星 的 机 械 能 为 负 值 . 由 开 普 勒 第 一 定 律 可 推 知 ， 此 卫 星 的 运 动 轨 道 为 椭 圆 （ 或 圆 ）

9、， 地 心 为 椭 圆 的 一个 焦 点 (或 圆 的 圆 心 )， 如 图 所 示 .由 于 卫 星 在 脱 离 点 的 速 度 垂 直 于 地 心 和 脱 离 点 的连 线 ， 因 此 脱 离 点 必 为 卫 星 椭 圆 轨 道 的远 地 点 （ 或 近 地 点 ） ； 设 近 地 点 （ 或远 地 点 ） 离 地 心 的 距 离 为 ， 卫 星 在r此 点 的 速 度 为 .由 开 普 勒 第 二 定 律 可v知(1)20.8rR=式 中 为 地 球 自 转 的 角 速 度 .e(/)T令 表 示 卫 星 的 质 量 ， 根 据 机 械 能 守m恒 定 律 有（ 2） 22110.80.

10、8GMmGMmRrv由 （ 1） 和 （ 2） 式 解 得(3).可 见 该 点 为 近 地 点 ,而 脱 离 处 为 远 地 点 .【 （ 3） 式 结 果 亦 可 由 关 系 式 ： 210.80.80.8GMmGMmRr直 接 求 得 】同 步 卫 星 的 轨 道 半 径 满 足R(4)22由 (3)和 (4)式 并 代 入 数 据 得(5)41.0kmr可 见 近 地 点 到 地 心 的 距 离 大 于 地 球 半 径 ， 因 此 卫 星 不 会 撞 击 地 球 .ii. 由 开 普 勒 第 二 定 律 可 知 卫 星 的 面 积 速 度 为 常 量 ， 从 远 地 点 可 求 出 该

11、 常 量为R0.80R a b 12(6) 2s10.8R设 和 分 别 为 卫 星 椭 圆 轨 道 的 半 长 轴 和 半 短 轴 ， 由 椭 圆 的 几 何 关 系 有ab(7).2a(8)20.8.bR卫 星 运 动 的 周 期 为 T(9)sabT代 人 相 关 数 值 可 求 出（10）9.5hT卫 星 刚 脱 离 太 空 电 梯 时 恰 好 处 于 远 地 点 ， 根 据 开 普 勒 第 二 定 律 可 知 此 时 刻卫 星 具 有 最 小 角 速 度 ， 其 后 的 一 周 期 内 其 角 速 度 都 应 不 比 该 值 小 ， 所 以 卫 星 始 终不 比 太 空 电 梯 转

12、动 得 慢 ； 换 言 之 ， 太 空 电 梯 不 可 能 追 上 卫 星 .设 想 自 卫 星 与 太 空电 梯 脱 离 后 经 过 （ 约 14 小 时 ） ， 卫 星 到 达 近 地 点 ， 而 此 时 太 空 电 梯 已 转 过 此.5T点 ， 这 说 明 在 此 前 卫 星 尚 未 追 上 太 空 电 梯 .由 此 推 断 在 卫 星 脱 落 后 的 0-12 小 时内 二 者 不 可 能 相 遇 ； 而 在 卫 星 脱 落 后 12-24 小 时 内 卫 星 将 完 成 两 个 多 周 期 的 运 动 ，同 时 太 空 电 梯 完 成 一 个 运 动 周 期 ， 所 以 在 12-

13、24 小 时 内 二 者 必 相 遇 ， 从 而 可 以实 现 卫 星 回 收 .2.根 据 题 意 ， 卫 星 轨 道 与 地 球 赤 道 相 切 点 和 卫 星 在 太 空 电 梯 上 的 脱 离 点 分 别 为 其轨 道 的 近 地 点 和 远 地 点 .在 脱 离 处 的 总 能 量 为（ 11）2xxxe1()GMmRR此 式 可 化 为(12) 3xx23ee1e这 是 关 于 的 四 次 方 程 ， 用 数 值 方 法 求 解 可 得xR（ 13）4xe4.73.01kmR【 亦 可 用 开 普 勒 第 二 定 律 和 能 量 守 恒 定 律 求 得 .令 表 示 卫 星 与 赤

14、 道 相 切 点 即x ev13近 地 点 的 速 率 ， 则 有2exRv和22exx11()GMmGmv由 上 两 式 联 立 可 得到方程53xxx2323eee0eRR其中除 外其余各量均已知, 因此这是关于 的五次方程. 同样可以用数值方法解得 .】xRx xR卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期，设椭圆的半长轴为 ，半短轴为 ，有T ab(14)xe2Ra(15)2xeb因为面积速度可表示为(16)2sx1R所以卫星的运动周期为(17)sabT代入相关数值可得h (18)6.8卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内

15、，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行 180 度，落到西经 处与赤道相切. 但由于地球自转，在(10)这期间地球同时转过了 角度，地球自转角速度 ，因此卫星与地球/2T 360/24h15/赤道相切点位于赤道的经度为西经（19）18012T即卫星着地点在赤道上约西经 121 度处.评分标准：本题 23 分.第 1 问 16 分，第 i 小问 8 分， (1)、(2)式各 2 分， （4）式 2 分， （5）式和结论共 2 分.第 ii14小问 8 分， （9） 、 （10）式各 2 分，说出在 0-12 小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共 2 分，说出在 12-24 小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共 2 分.第 2 问 7 分，(11)式