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1、工程力学A (下),北京理工大学理学院力学系 韩斌,( 4-2 ),39+5/III,2,对 n 根杆组成的桁架(各杆均为二力杆),上式变为:,(15.16),(2) 式中已略去了剪力的影响, 对平面刚架、曲杆， 有时轴力FN的影响也可略去,即只计T，M的影响。,3,（3）单位载荷的施加方法,若求K点某方向的线位移,在K点沿相应方向加单位集中力F0=1,若求K点某转向的角位移,在K点沿相应方向加单位集中力偶m0=1,4,在两点处沿相应方向加一对方向相反的单位集中力F0=1,若求两点间的相对线位移,若求两点间的相对角位移,在两点处沿相应方向加一对方向相反的单位集中力偶m0=1,求AB两点间的相对
2、位移AB,求B+与B-截面的相对转角,5,(4)计算出的位移的方向,计算出的位移若为正：表示该位移与所加单位载荷的方向一致，,计算出的位移若为负：表示该位移与所加单位载荷的方向相反，,6,(5)注意(15.15) 式的量纲!,力长度,功，能,7,例 题 15-2, 例题,水平面内一端固支的3/4圆弧 杆，横截面是直径为d 的圆形， 圆弧半径 R ，O点受铅垂力F 作用，设杆的材料弹性模量与 切变模量的关系为 ， 求O点铅垂位移。,I5 能量法,8,例 题 15-2, 例题,解：,1.分段求内力方程,OA段：弯曲,ABCD弧段：,剪力：,（可略去不计）,扭矩：,I5 能量法,9,例 题 15-2
3、,I5 能量法, 例题,2.求O点铅垂位移wo,在O点加铅垂单位力 F0=1,产生的内力为：,OA段：弯矩：,ABCD弧段：,扭矩：,10,15.4 互等定理,在线弹性、小变形条件下，有以下两个定理：,1.功互等定理,2点受F2 ,引起位移 11 21,引起位移 12 22,1点受F1,11,若将两种受力状态叠加，计算全部广义力的功，,可按以下两种加载方式计算：,（1）先加F1，后加 F2 ：,（2）先加F2，后加 F1 ：,功与加载次序无关，故,12,（2）位移互等定理,功互等定理：第一组广义力在第二组广义力引起的位移上作的功，等于第二组广义力在第一组广义力引起的位移上所作之功。,(15.1
4、8),位移互等定理,注意：力是广义力， F1 与 F2可以量纲不同 (如一个是集中力:N，另一个是集中力偶:Nm)， 故12与21也可量纲不同，仅数值相同。,13,由功互等定理：,若令F=1kN，m0= 1kNm,则二位移量仅数值相等！,14,如图，在悬臂梁的自由端A安装一个挠度计，可测出自由端A的挠度值。当集中力 P 从固定端O向右移动时，挠度计的读数w*是力 P 作用位置 x 的函数，即w*= w*(x) ，该方程 w*= w*(x) _。,(B),利用互等定理的示例,w*(x),由位移互等定理：,15,思考：若想测定原题中悬臂梁自由端受集中力作用下各截面的转角 , 如何利用原有装置？,利
5、用功互等定理,16,15.5 变形体的势能驻值原理 和最小势能原理,在上册8中曾给出刚体系统（在有势力作用下）的势能驻值原理（平衡时势能取驻值）及最小势能原理（稳定平衡时势能取最小值）。,对变形体，以上二原理仍成立，但在总势能中应加上系统的总变形势能（总应变能） ，即：,总势能 = 外力势能 + 总应变能,17,鲍林(两次获诺贝尔奖, 1954化学奖,1962和平奖) : 镰刀形红细胞贫血症, 是一种分子病，由突变基因决定的血红蛋白分子的变态;,白血病:锯齿状红细胞, 红细胞表面多刺，失去双凹特征，形状粗糙；,正常红细胞：两面双凹呈圆盘状能量最低,稳定平衡时能量最小：,18,15.4 计算莫尔
6、积分的图乘法,对于等截面直杆(及等截面折杆、等截面阶梯杆)，,EA，GIP，EI 可移出积分号外，只需计算积分：,若将 图及 图分别画出，可利用几何图形计算莫尔积分图乘法。,其中 ： 为结构在原有载荷作用下的内力； 为结构仅有单位载荷作用下的内力。,19,以 的计算为例：,画出梁在原载荷作用下的弯矩图 （M 图）,M 图形状任意(任意原载荷的内力图),20,图乘法计算莫尔积分：,(15.16),同理：,式中： 为 M 图的面积， 是M图形心C对应的 图上的纵坐标,21,22,（3）若梁的弯曲刚度 EI 有变化时，应按 EI 变化处分段互乘再叠加。,23,(5)多个载荷同时作用下的 M 图一般较
7、复杂，可分别画出各载荷单独作用时的 Mi 图，分别与 图作图乘，然后相加。,24,（6）实际上，作图乘的两张内力图，只要在某一段杆上其中之一为斜直线即可（取其纵坐标），另一张图取面积。,（7）只有同一种分量的内力图才可互乘。,（8）常见图形面积与形心：,h,向下凸抛物线,向上凸抛物线,25,例 题 15-3,I5 能量法, 例题,已知:AD=DB=BC= ,求,解： 1.画内力图,将载荷分开画弯矩图：,26,例 题 15-3,I5 能量法, 例题,2.求wC，加单位力F0=1,27,例 题 15-3,I5 能量法, 例题,3.图乘法求wC,28,例 题 15-4,I5 能量法, 例题,求中间铰
8、两侧截面相对转角。,解：1.画内力图,(1)F力单独作用时的弯矩图,(2)均布载荷q单独作用时的弯矩图,29,例 题 15-4,I5 能量法, 例题,2.加单位载荷,求D截面两侧的相对转角，在D截面两侧加一对单位力偶：,30,例 题 15-4,I5 能量法, 例题,4.图乘法,31,例 题 15- 5,I5 能量法, 例题,求C处的线位移。,解：,1.画内力图,BC段为弯曲（x 轴为中性轴）,AB段为弯曲（z 轴为中性轴）+扭转,C点的线位移可分解为沿x，y，z 三个坐标轴方向的位移分量，分别求解。,32,例 题 15-5,I5 能量法, 例题,2.求 ,应在C处沿x方向加单位力。,3.求 ,
9、在C处沿y方向加单位力。,（弯矩不在同一个平面内）,33,例 题 15-5,I5 能量法, 例题,3.求 ,在C处沿y方向加单位力。,34,例 题 15-5,I5 能量法, 例题,4.求 ,在C处沿z向加单位力。,35,例 题 15-6,I5 能量法, 例题,组合结构由梁ABC，杆BD组成，求C截面的转角。,解：,1.画内力图,梁ABC为弯曲+拉伸,（可略去拉伸）,（压）,36,例 题 15-6,I5 能量法, 例题,1.画内力图,画出AC的M图，DB的轴力图。,（压）,37,例 题 15-6,I5 能量法, 例题,2.加单位载荷m0=1，画内力图,（压）,38,例 题 15-6,I5 能量法, 例题,3.图乘法,（）,39,例 题 15-7,I5 能量法, 例题,1. q作用下任一截面上,解：,40,例 题 15-7,I5 能量法, 例题,2. 单位力作用下,3.计算莫尔积分,41,例 题 15-8,I5 能量法, 例题,已知 各杆EI相同，求 D截面转角D 和铅垂位移fD,解：,1.先画载荷内力图,可将均布载荷、集中力、集中力偶单独作用时的内力图分别画出。,求D截面铅垂位移时，应在D点加铅垂单位力。,42,例 题 15-8,I5 能量法, 例题,43,例 题 15-8,I5 能量法, 例题,负表示 (),若求转角D ，在D截面加一单位力偶：,44,
