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1、第二十七章 Schrdinger方程,Schrdinger Equation,本章主要内容,27-1 Schrdinger方程 27-2 无限深方势阱中的粒子 27-3 势垒穿透 27-4 谐振子,Schrdinger方程是波函数Y 所满足的偏微分方程，它是物质波的波动方程，也是量子力学中基本动力学方程。,用波函数Y 定量地描述粒子的波动性。 Y = Y (x,y,z,t),第二十七章 Schrdinger方程,由此，Schrdinger发展建立了波动力学量子力学的一个理论分支。另有Heisenberg的矩阵力学。（等价理论）,在给定条件下(给定一势场)，粒子的波函数是怎样的？,27-1 Sc
2、hrdinger方程,Schrdinger Equation,或, 含时Schrdinger方程,一维特例：,1926年， E. Schrdinger（奥）发表了他对非相对论形式下定量处理物质波的研究结果，提出了Schrdinger方程。,含时Schrdinger方程是量子力学中的普遍方程。本章不作具体讨论。,含时Schrdinger方程,2,返回, 定态Schrdinger方程,在势函数不显含时间 t 的情况下，即 ，方程可以用分离变量法求解，即将波函数表示为,得方程 和,定态Schrdinger方程一维特例：,y 称为定态波函数 ，它描写的粒子的状态叫定态。处于定态的粒子，发现其概率分布不
3、随时间变化；,说明：, 波函数的基本性质：有限，单值，连续,（1）概率小于1，总值是1，不能无限大，所以波函数 必须有限；,（2）任何位置只能有一个概率，所以波函数应为单值。,（3）概率密度在全空间是连续的，也就是在某处不可 能发生突变，故波函数应是连续的；, 波函数还应满足归一化条件：,一维：,27-2 无限深方势阱中的粒子,Particles in a Square Infinitely Deep Potential Well,讨论粒子做一维运动的情形。 已知粒子在某外力场中的势能,此势能分布叫一维无限深方势阱。,经典观点：粒子往返于阱壁之间，在各处出现的概率是 一样的。,粒子在势阱内势能
4、为零，受力为零，自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受到无穷大的斥力。因此粒子的位置就被限制在阱内，粒子此时的状态我们称为束缚态。,（见第四章5节）,无限深方势阱的势函数：,利用波函数连续性质得出的边界条件,由边界条件，有,即,C 和 D 不能同时为零, 否则 到处为零, 物理上没有意义。 因此, 我们得到两组解:,能量本征值/能级,说明束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散的值(能量量子化)，能量最低值不为零。 En 中的 n 称为量子数。,得到两种形式的波函数（奇/偶函数）：,将以上两组解依次代入通解：,如何求系数 C 和 D ?,继续求解波函数：,Yn(x) 所描述的粒子状态称为能量本征态
5、。 eigenstate,能量本征函数的最终结果为：,返回,解：（1）基态 n = 1,例1 一维无限深势阱（0 x a）中粒子的定态波函数为 试求：（1）粒子处于基态时;（2）粒子处于 n = 2 ;（2）粒子处于 n = 3 的状态时，在 x = 0 到a/3之间找到粒子的概率。,（2）n = 2 态,（3）n = 3 态,27-3 势垒穿透,Barrier Penitration,1. 半无限深方势阱,Schrdinger方程：,势函数：,左端 y 连续； 右端 y 和 dy/dx 均连续：,结论：在 的区域仍有粒子出现的概率。,按照经典理论， 是不可能的。但由不确定关系可证明 有 ，这正是粒子波动性所致。,Schrdinger方程：,2. 一维方势垒,一维方势垒的势函数：,说明： 势垒穿透是量子效应, 势垒穿透效应的实例与应用,理论上，宏观物体也有波动性，因此经典粒子也应有隧道效应，只是概率极小，实际不可能发生。,27-4 谐 振 子,Harmonic Oscillator,一维谐振子的势函数：,Schrdinger方程：,能量本征值（利用波函数有限和连续的性质）：,零点能（n = 0）：,能级间隔：,在 的区域仍有粒子出现的概率势垒穿透效应。,在 的区域为束缚态，能量取值不连续。,本章结束,The End of This Chapter,
