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1、2019/1/23,第十章 非线性控制系统,1,第十章,非线性控制系统,作者： 浙江大学 邹伯敏 教授,自动控制理论,普通高等教育“九五”部级重点教材,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,2,第一节 非线性系统的概述,典型的非线性特性,（1）饱和特性,系统若有饱和非线性元件，它的开环增益会大幅度地减小，从而导致系统的过滤过程时间增加和稳态误差变大。,（2） 回环特性,图10-1,图10-2,图(a)为齿轮传动中间隙，图(b)为齿轮传动的输入、输出特性，,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,3,它的数学表达式为,1）回环非线性特性是多值的，对于一个给定的输入，究竟取
2、那一个值作为输出，应视该输入的“历史”决定。 2）系统中若有回环非线性元件存在，通常会使系统的输出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定量的减小、动态性能的恶化，甚至使系统产生自持振荡。,（3）死区特性,图10-3,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,4,1）使系统的稳态误差增大。 2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高系统抗扰动的能力。 3）使系统的输出在时间上滞后。,死区非线性特性对
3、系统的主要影响,（4）继电器特性,图10-4,继电器非线性特性一般会使系统主生自持振荡，甚至系统不稳定，并且使稳态误差增大 。,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,5,非线性系统的特点,1）非线性系统的输出与输入间不存在着比例关系,且不适用叠加原理。 2）非线性系统.的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而且也与初始条件和输入信号的大小有关。,下面举例说明初始偏差对系统稳定性影响,设非线性系统的微分方程为,当初始偏差 x00,方程具有负实根,相应的系统是稳定的 当x01时,1-x00,方程具有一个正的实根,系统为不稳定,图10-5,非线性系统常会产生自持振荡,1）描述函数法
4、-用于研究系统的稳定性和自持振荡问题。 2）相平面法-只适用于一阶和二阶系统。 3）李雅普诺夫第二法。,研究非线性系统的方法:,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,6,描述函数,图10-6 非线性控制系统,图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加一幅值为X 频率为的正统信号,即 e=Xsint，则其输出为：,第二节 非线性元件的描述函数,假设: 1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=0 2）R(t)=0 3）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中多高次谐波滤掉，只剩一次谐波项。,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,7
5、,则,其中,经过线性化处理后，非线性元件的输出是一个与其输入信号同频率的正弦函数，仅在幅值和相位上与输入信号有差异。,非线性特性线性化的条件：,1）假设系统的输入r(t)=0 2）非线性元件的静特性不是时间t的函数 3）非线性元件的特性是奇对称的，即有,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,8,4）系统的线性部分具有良好低通滤波器的性能 ，经过线性化后，非线性元件的输出与输入的关系为 ：,N(X)-非线性特性的描述函数,图10-7 用描述函数表示非线性特性的系统,非线性元件函数的举例,（1）饱和非线性,由图10-8可知，输出y(t)是一个周期性的奇函数，因而它的傅氏级数展开
6、式中没有直流项，也没有余弦项。即 A0=0，B1=0，1=0,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,9,图10-9 饱和非线性的描述函数,自动控制理论,图 10-8,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,10,（2）理想继电器型非线性,图 10-10,由图10-10可知,图10-11 理想继电器型,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,11,（3）死区非线性,图10-12死区线性和非线性特征曲线,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,12,图10-13 死区非线性的描述函数,如果在系统中有两个非线性元件相串联，处理的方法为图9-
7、14(b)所示：,图10-14 二个非线性元件相串联的系统,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,13,第三节 用描述函数分析非线性控制系统,图10-15 非线性控制系统,图10-16非线性控制系统,若把图中N(X)与G(j)间的通路断开，并在G(j)的输入端加一正弦信号y1=Y1sint，则N(X)的输出为：,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,14,此时若把N(X)与,系统的振荡也能持续下去.式中：,间的断开点接通,即使撤消外施信号,称负特性.,乃奎斯特稳定判据:如果,轨线没有被,曲线包围,则非线性系统稳定.反之,曲线包围,则非线性系统为不稳定.,
8、如果,如果,轨迹与,曲线相交,则系统的输出有可能产生自持振荡,图C)中的,B点能产生稳定的自持振荡而交点A外产生不稳定的自持振荡,图10-17 啡线性系统的稳定性判别,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,15,例10-1 非线性系统为图10-18所示,其中放大器线性部分的增益为K.试确定系统临界稳定时的K值,并计算K=3时,系统产生自持振荡的幅值和频率。,图10-18 具有饱和放大器的非线性系统,自动控制理论,解 令放大器的增益为1,把K放到系统的线性部分.,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,16,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,17,
9、第四节 相轨迹,设二阶系统微分方程式的一般形式为,相轨迹的基本概念,自动控制理论,设弹簧,质量.阻尼器系统的齐次方程为,写成标准化形式,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,18,1）用解析法求出x1和x2与t的关系(见图10-19a) 2）以t为参变量,求出x2=f(x1)的关系，并把它画在x1-x2平面上，(见图10-19b）,图10-19二阶线性系统的时域响应和相轨迹,自动控制理论,求解方法：,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,19,对于非线性微分方程,一般难于得到x1和x2的解析解,而用下述的图解法可以求得系统瞬态响应的相关信息。,相轨迹的性质：,1）相轨迹上每一点都有
10、其确定的斜率,2）相轨迹的奇点,自动控制理论,3）相轨迹正交于x1轴 4）相轨迹运动方向的确定,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,20,在相平面的上半平面上，由x20于，表示相轨迹的运动方向是x1的增大方向，却向右运动。在相平面上，由于x2 0 ，相轨迹的运动方向是x1的减小方向，即向左运动。,相轨迹的绘制,绘制,绘制相轨迹的方法有解析法和图解法两种。解析法只适用于系统微分方程较简单的场合；图解法适用于非线性系统。,（1）用解析法求相轨迹,例9-2 设二阶系统的微分方程为：,图10-20 例10-2的相轨迹,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,21,（2）用图解
11、法求相轨迹,1）等倾线法,上式表示相轨迹上斜率为常值的各点连线，此连线中等倾线。,自动控制理论,例9-3 试用等倾线法绘制二阶系统,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,22,解：,图9-21 例10-3的相轨迹,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,23,在绘制相轨迹时，只要从初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的短线段，就得到在确定初始条件下系统完整的相轨迹。由图可见，由任何初始条件下出发的相轨迹是一卷向坐标原点的螺旋线，这表明系统是稳定的。,2）法,设系统的微分方程为：,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,24,图9-22 用法作相轨迹
12、,例9-4 已知非线性系统的微分方程为,解 将微分方程改写为,图9-23 用法绘制相轨迹,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,25,用相轨迹求系统的瞬态响应,图9-25 x(t)与t的关系曲线,图9-24 x-x平面上的相轨迹,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,26,第五节 奇点与极限环,为了研究系统在奇点附近的行为，或者说了解系统在奇点附近的相轨迹特征，需要先把系统的微分方程在奇点处作线性化处理。,方程式的线性化和坐标系的变换,设系统的微分方程式,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,27,节点的分类,图9-27,1) 节点,
13、自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,28,如果系统的两个特征根为相异的负实数，对应的奇点称稳定节点。此时,如果系统的两个特征根为相等的正实数，则对应的奇点称不稳定节点。其相轨迹见图9-28。,图9-28 不稳定节点,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,29,2) 鞍点,图9-29,对应的相轨迹方程为:,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,30,3) 焦点,如果系统的特征根是一对位于S左半平面的共轭复根，对应的奇点称稳定焦点；反之，为不稳定焦点。,图9-30,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,31,4) 中
14、心点,如果系统的特征根为一对共轭虚根，即1,2=j对应的奇点称为中心点。,图9-31,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,32,极限环,非线性系统的运动除了具有线性系统的发散和收敛两种模式外，还有一种运动模式自持振荡，自持振荡在相平面上表观为一个孤立的封闭轨迹线极限环。,下面以范德波尔（van der pol）方程为例说明极限环的稳定性。已知方程,图9-32,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,33,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,34,第六节 非线性系统的相平面分析,1) 当系统的非线性方程可解析的，可根据其线性化方程式根
15、的性质去确定奇点的类型，然后用图解法式解析法画出奇点附近的相轨迹。,例9-5 求下列方程所描述系统的相轨迹图，并分析系统奇点。的稳定性,2) 当系统的非线性方程非解析的，则通过将非线性元件的特征作分段 线性化处理，即把相平面分成若干个区域，每一个区域有一个相应的 微分方程和奇点。只要把各个区域内的相轨迹依次连接起来，就可得 到系统完整的相轨迹图。,解: 奇点为（0，0）和（-2，0）,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,35,在原点附近，线性化后的方程为,在奇点（-2，0）附近，对方程作如下改写,图9-33 例10-5的相轨迹,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,
16、36,如果状态的初始点位于图中的阴影区域内，则相轨迹均收敛于坐标原点，相应的系统是稳定的。反之，初始状态若位于阴影区域外，相轨迹均趋向于无穷远，系统不稳定。 非线性系统的稳定性与初始状态有关。,例9-6 一非线性系统如图9-34所示，试求在阶跃输入r(t)=R0和斜坡输入r(t)=vt(v0)时的相轨迹。,图9-34,解：由图得,图9-34 相平面的区域划分,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,37,阶跃输入,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,38,图9-34,斜坡输入,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,39,图9-37,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,40,结论：,例9-7 已知输入为阶跃信号，试求该系统的相轨迹,图9-38 非线性控制系统,解由图得,自动控制理论,2019/1/23,第十章 非线性控制系统,41,图10-39 图10-38所示系统的相轨
