第5章 有限长离散变换

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1、第五章 有限长离散变换离散傅里叶变换5.1.离散时间、离散频率的傅立叶变换离散傅立叶变换上一章讨论的三种傅立叶变换的形式均不适合在计算机上运算。原因就是存在一种连续的函数（无论时域还是频域） 。离散傅立叶变换是一种在时域和频域均离散的傅立叶变换。f(t) F()推导离散傅立叶变换的方法有很多种。在 0 N1 个复数值组成的时间序列中， 1)n-(N2n2n21 jNjNj eee ， 构成完备的正交序列集，因为 kmNeeee Nn NknjNmnjNn NknjNmnj 0102210 22 把 分解为上述完备正交集之和，即)(x NnjNnjNnjNkNnkj ekFeFeFeFn )1(

2、21202102 )()()()()( 如何求系数 呢？)(k 为了书写方便，通常把 记为 ，则Nje2NW ，令 ，或Nnkje2nkNW()()XkFk ()()XkFkN那么，离散傅立叶变换对就写为 10102 )()()( Nk nkNNk Nknj WkXekXnx nkNNnNn Nknj xexkX 10102 )()(四种傅立叶变换形式的归纳。非周期连续时间信号的频谱也是非周期连续的。在时间或频域中任何一个域离散，在另一个域将被周期性延拓。有限长序列，作离散傅立叶变换时，都是作为周期序列的一个周期主值序列来处理的，隐含有周期性的意义。f(t) F()5.2. 离散傅立叶变换的性

3、质对 N 点有限长序列，X 1(k)=DFTx1(n), X2(k)=DFTx2(n) 具有下列性质：1、 线性 DFTax1(n)+bx2(n)=aX1(k)+bX2(k)注意，两个序列的长度相同，如果序列长度不同，则要将较短序列补零，与较长的序列长度一致，否则，不成立。2、 序列的循环移位 x(n)xm(n) 一个序列的循环移位是指：将序列延拓成周期序列，将周期序列移位，取移位后的周期序列的主值序列，即得到循环移位后的序列。用 表示 的周)(nxm)(nxx(n)x(n) 延 拓x(m+n) 移 位x(m+n) 取 主 值 延 拓移 位取 主 值期性延拓，且周期为 N有限长序列循环移位后的

4、 DFT 为：)( )()( )()(kXWnRmnxDFTxDFTkXNmkN Nm证： )(nxDFTmx(n)x(n) 延 拓x(m+n) 移 位x(m+n) 取 主 值 延 拓移 位取 主 值 mNml kmlNlnmNn nkNNWlxnx RmxDFT1 )(10 )()( )()( )()()( 111 mNNl lkNNml lkNmkNNml lkNmkN WlxWlxWlx由于 ),1()(),1()(),0()( 11 mxlxxlxxlx NlNlNl mkNkmNmNllkN WWW )(故 ml lkNNl lkNlxlx101 )()(由此得： 10101 11

5、)()()( )()()()( Nl lkNmkml lkNNml lkNk mNNl lkNNml lkkN WlxWlxWlxW lxlxWnRmnxDFT同理，对于频域的有限长序列 X(k)，其循环移位性质有： )()()()( 2nxenxWkRlkXIDFT nlNjnlNN 10102 )()()( NknkNNkNknj XeXnx nkNNnNnknj WxexkX10102 )()(3、 共轭对称性有限长序列的共轭对称序列：满足条件 的序列 叫共轭对称序列。)()(*nxnxee )(nxe满足条件 的序列 叫共轭反对称序列。)()(*oo )(o任一序列 总能表示为一个共轭

6、对称序列和一个共)(nx轭反对称序列之和。即 )()(x)( nxnnxoe满足共轭对称序列条件)()(21)(x*nxne 满足共轭反对称序列条件)()(21)(x*nxnxno 值得注意的是， 是长度为 N 的序列，而按该条件)(nx定义的 ， 却是长度为 2N1 的序列。)(nxe )(nxo周期序列 的共轭对称分量 和共轭反对称分量)(nx )(nxe)(nxo共轭对称)()(21)(x*nxnxne 共轭反对称)()()( *xxo有限长序列的循环共轭对称序列和循环共轭反对称序列有限长序列为 ，长度为 N。将它们以 N 为周期作)(nx周期延拓，得到周期序列 )(nxNnx)(其共轭

7、对称分量和共轭反对称分量分别为： )()(21)()(21)(x * NNe nxnxnxnxn )()()()()( * NNo xxxx 有限长序列 的共轭对称分量 和共轭反对称)(n )(pne分量 分别定义为：)(pnxo)()()(21)()(x)(x * nRnNxnxnRn NNNeep )()()()()()( *xx NNNoop 有限长序列的共轭对称 圆周共轭对称分量按照相同的方法，如果 可以得到 的循)()(kXnx)(kX环共轭对称分量 和循环共轭反对称分量)(kXep op)()()( kkXopep在 之间存在下列对称性质：)(),(kXnx1) )()()()()

8、( * kRkNXkRknxDFT NN2) )()()(* nN3) )()()(21)()(Re * kRkNXkXkXnxDFT NNep 4) )()()()()(Im * kkkkxj NNop5)若 是实序列，则)(nx )()()(* RXN6)若 是纯虚序列，则)( )()()(* kkk7) )(Re)( kXnxDFTep8) )(Im)( kXjnxDFTop证：1) )()()()()( *1010* kXkXWnxWnxnxDFT nkNNnnkNNn 2) )()()( )()()()( *10 10*01*10* kXkXWmx WmxWmxnWnxnxDFTkN

9、N kNNmkNNmkNNn 3) )()(21)(Re *nxnxnx)()()(21 )()(21)(Re* *kXkXk nxnxDFTnxDFTep 4) )()(21)(Im *nxnxnxj )()()(21 )()(21)(I* *kXkXk nxnxDFTnxjDFTop 5)若 是实序列，)(nx则 1010 )()(,)()( NnnkNNnnkN WxkXWxkX )()()()( 10*10* kXxxkX NnnkNNnnkN 6）若 是纯虚序列，)(nx则 1010 )()(,)()( NnnkNNnnkN WxkXWxkX)()()()( 10*10* kXWnx

10、WnxkX NnnkNNnnkN 7） )(Re)(21)(21 )(21)(21)(* *kXkXkX nxnxDFTnxDFTep 例一个长度为 11 点的实序列的 11 个离散傅立叶变换的 6 个样本为：X0=12, X2=-3.2-j2, X3=5.3-j4.1, X5=6.5+j9, X7=-4.1+j0.2, X10=-3.1+j5.2。求余下的 5 个样本。解，利用性质 5若 是实序列，则()xn *()()()NXkXkRk这里，N11。因此余下的 5 个点:* *(1)(1)()(10)3.15.2NXRkXj, ,*(4)(7)4.10.2j *(6)(5)6.9j,*(8

11、)(3)5.3.XXj*(9)(2)3.2XXj4、 DFT 形式下的帕塞瓦定理 10*10* )()()()( NkNn kYkXnyx证明：nkNNkNn nkNNkNnNn WkYx WkYxyx 10*10 *101010* )()( )()()()( )()(1 )()(110*1010*kXkYNnxkYNk nkNNnNk当 y(n)=x(n)时 102102 )()(NkNn kXx5、 循环卷积和设 ， 都是长度为 N 的有限长序列，)(1nx)(2nx)()(11 kXDFT)()(22nx)()()( 21kXkkY则 )()()()()(102 nRmnxmxkYIDF

12、Tny NNm 循环卷积和 120120()()()()()()()N NmNNNmynxnmRnxxnn 1()xn N 2()x证明：利用圆周移位性质： )()()( kXWnRmnxDFT mkNN )()()( k)()( )()()()()()( )()()()(Y21 102210 22 210102 210102210kXk emxkXkXemx emnxx emnxmenyk NmmkNjNmmkNj nkNjNmNn nkNjNnmnkNjNn 例 计算 x1和 x 2的 4 点循环卷积和 (x1和 x 2见图)y(0)=1*3+0*2+0*1+1*0=3;y(1)=1*3+

13、1*2=5y(2)=0*3+1*2+1*1+0=3y(3)=0*3+0*2+1*1+1*0=10123y(n)3 351n循环卷积和0123)(nx)(101230123)(0123)(nx01230123)(nx0123)(0123)(nx竖式乘法：（线性卷积和）3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 01 1 0 03 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 X 10 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 X 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 03 5 3 1 3 5 3 1 3 5 3 1例，计算时宽为 N 的两个矩形序列 的 N 点循环卷积和。，othersNnnxnx ,01,1)()(21 otherskWkXkNnnk,00)()( 1021 otherskkXkkX00)()()( 2213NekXNnxk nkNj10233 )()( 01234x1(n)501234x2(n)501234x3(n)5（具体，以 N=3，循环与线性）例 将 x1(n) 和 x2(n)各增加 N 个零点，把其看成 2N 点序列，再求循环卷